Lernen Sie mit den 11 Übungen zur Matrixmultiplikation, alle mit Schritt-für-Schritt-Auflösung, damit Sie Ihre Zweifel lösen und in Prüfungen und Aufnahmeprüfungen gut abschneiden können.
Frage 1
Aktivieren Sie bei den folgenden Matrizen die Option, die nur mögliche Produkte angibt.
a) C.A., B.A., A.D.
b) D.B., D.C., A.D.
c) AC, D.A, C.D.
d) B.A, A.B, D.C
e) A.D., D.C., C.A.
Richtige Antwort: c) AC, D.A, C.D
A.C ist möglich, weil die Anzahl der Spalten in A (1) gleich der Anzahl der Zeilen in C (1) ist.
D.A ist möglich, weil die Anzahl der Spalten in D (2) gleich der Anzahl der Zeilen in A (2) ist.
C.D ist möglich, weil die Anzahl der Spalten in C (3) gleich der Anzahl der Zeilen in D (3) ist.
Frage 2
Machen Sie das Matrixprodukt A. B.
Zuerst müssen wir prüfen, ob die Multiplikation möglich ist.
Da A eine 2x3-Matrix und B eine 3x2-Matrix ist, ist eine Multiplikation möglich, da die Anzahl der Spalten in A gleich der Anzahl der Zeilen in B ist.
Wir haben die Dimensionen der aus der Multiplikation resultierenden Matrix überprüft.
Aufruf der Ergebnismatrix von Produkt A. B von Matrix C, diese hat zwei Zeilen und zwei Spalten. Denken Sie daran, dass die Ergebnismatrix des Produkts die Anzahl der Zeilen von der ersten und die Anzahl der Spalten von der zweiten "erbt".
Daher wird Matrix C vom Typ 2x2 sein. Wenn wir die generische Matrix C aufbauen, haben wir:
C =
Um c11 zu berechnen, multiplizieren wir die erste Zeile von A für die erste Spalte von B, wobei die multiplizierten Terme addiert werden.
c11 = 3,1 + (-2),0 + 1,4 = 3 + 0 + 4 = 7
Um c12 zu berechnen, multiplizieren wir die erste Zeile von A für die zweite Spalte von B, wobei die multiplizierten Terme addiert werden.
c12 = 3,3 + (-2).(-5) + 1,1 = 9 + 10 + 1 = 20
Um c21 zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Zeile von A für die erste Spalte von B, Addieren der multiplizierten Terme.
c21 = 1,1 + 5,0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
Um c22 zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Zeile von A für die zweite Spalte von B, wobei die multiplizierten Terme addiert werden.
c22 = 1,3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
Schreiben von Matrix C mit ihren Termen.
C =
Frage 3
Lösen Sie die Matrixgleichung und bestimmen Sie die Werte von x und y.
Wir haben überprüft, dass es möglich ist, die Matrizen vor der Gleichheit zu multiplizieren, da sie vom Typ 2x2 und 2x1 sind, dh die Anzahl der Spalten in der ersten ist gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten. Das Ergebnis ist die 2x1-Matrix auf der rechten Seite der Gleichheit.
Wir multiplizieren Zeile 1 der ersten Matrix mit Spalte 1 der zweiten Matrix und sind gleich 3.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (Gleichung I)
Wir multiplizieren Zeile 2 der ersten Matrix mit Spalte 1 der zweiten Matrix und sind gleich -4.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (Gleichung II)
Wir haben zwei Gleichungen und zwei Unbekannte und können ein System lösen, um x und y zu bestimmen.
Wenn wir beide Seiten der Gleichung I mit 4 multiplizieren und I + II addieren, erhalten wir:
Wenn wir y in Gleichung I einsetzen und nach x auflösen, erhalten wir:
Also haben wir
Frage 4
Ordnen Sie dem folgenden linearen System eine Matrixgleichung zu.
Es gibt drei Gleichungen und drei Unbekannte.
Um dem System eine Matrixgleichung zuzuordnen, müssen wir drei Matrizen schreiben: die Koeffizienten, die Unbekannten und die unabhängigen Terme.
Koeffizientenmatrix
Unbekannte Matrix
Matrix unabhängiger Terme
Matrixgleichung
Koeffizientenmatrix. Matrix von Unbekannten = Matrix unabhängiger Terme
Frage 5
(UDESC 2019)
Angesichts der Matrizen 
und wissend, dass A. B = C, also ist der Wert von x + y gleich:
a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11
Richtige Antwort: c) 47
Um die Werte von x und y zu bestimmen, lösen wir die Matrixgleichung, indem wir ein System erhalten. Beim Lösen des Systems erhalten wir die Werte von x und y.
Multiplizieren der Matrizen:
Isolieren von x in Gleichung I
Einsetzen von x in Gleichung II
passend zu den Nennern
Um x zu bestimmen, setzen wir y in Gleichung II ein
Daher,
x + y = 19 + 18
x + y = 47
Frage 6
(FGV 2016) Gegeben sei die Matrix 
und wissen, dass die Matrix 
die inverse Matrix der Matrix A ist, können wir folgern, dass die Matrix X, die die Matrixgleichung AX = B erfüllt, als Summe ihrer Elemente die Zahl
a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16
Richtige Antwort: b) 13
Jede mit ihrer Inverse multiplizierte Matrix ist gleich der Identitätsmatrix In.
Multiplizieren beider Seiten der Gleichung AX = B mit .
Bilden Sie das Produkt auf der rechten Seite der Gleichung.
Wie die Identitätsmatrix das neutrale Element des Matrixprodukts ist
Somit ist die Summe seiner Elemente:
10 + 3 = 13
Frage 7
Berechnen Sie bei gegebener Matrix, die auf Matrix A folgt, ihre inverse Matrix, falls vorhanden.
A ist invertierbar oder invertierbar, wenn es eine quadratische Matrix gleicher Ordnung gibt, die bei Multiplikation oder Multiplikation mit A die Identitätsmatrix ergibt.
Wir beabsichtigen, die Existenz einer Matrix zu identifizieren oder nicht Wofür:
Da A eine quadratische Matrix der Ordnung 2 ist, muss auch bestellen 2.
Schreiben wir die inverse Matrix mit ihren Werten als Unbekannte.
Schreiben der Matrixgleichung und Lösen des Produkts.
Gleichsetzen der äquivalenten Terme auf beiden Seiten der Gleichheit.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
Wir haben ein System mit vier Gleichungen und vier Unbekannten. In diesem Fall können wir das System in zwei Teile aufteilen. Jeweils mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
das System lösen
Isolieren von a in der ersten Gleichung
Einsetzen von a in die zweite Gleichung.
c. ersetzen
und das System:
b in der ersten Gleichung isolieren
Einsetzen von b in die zweite Gleichung
Ersetzen von d, um b zu bestimmen.
Ersetzen der ermittelten Werte in der inversen unbekannten Matrix
Überprüfen Sie, ob die berechnete Matrix tatsächlich die inverse Matrix von A ist.
Dazu müssen wir die Multiplikationen durchführen.
Daher sind Brüche invertierbar.
Frage 8
(EsPCEx 2020) Seien Sie die Matrizen . Wenn AB=C, dann ist x+y+z gleich
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Richtige Antwort: e) 2.
Um die Unbekannten x, y und z zu bestimmen, müssen wir die Matrixgleichung ausführen. Als Ergebnis haben wir ein lineares System aus drei Gleichungen und drei Unbekannten. Beim Lösen des Systems bestimmen wir x, y und z.
Nach Matrizengleichheit gilt:
Gleichungen I und III hinzufügen
Also x = -4/2 = -2
Einsetzen von x = -2 in Gleichung I und Isolieren von z.
Einsetzen der Werte von x und z in Gleichung II.
Wenn wir die Werte von x und y in Gleichung I einsetzen, haben wir:
Somit müssen wir:
Daher ist die Summe der Unbekannten gleich 2.
Frage 9
(PM-ES) Über die Matrixmultiplikation schrieb Fabiana die folgenden Sätze in ihr Notizbuch:
Was Fabiana sagt, ist richtig:
a) nur in I.
b) nur in II.
c) nur in III.
d) nur in I und III.
e) nur in I und IV
Richtige Antwort: e) nur in I und IV
Es ist nur möglich, Matrizen zu multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten ist.
Satz III wird daher bereits verworfen.
Die Matrix C hat die Anzahl der Zeilen von A und die Anzahl der Spalten von B.
Somit sind die Sätze I und IV richtig.
Frage 10
Gegeben Matrix A, bestimme .
Schritt 1: Bestimmen Sie .
Schritt 2: Bestimmen Sie die transponierte Matrix .
Die transponierte Matrix von A erhalten wir durch geordnetes Vertauschen der Zeilen gegen die Spalten.
Schritt 3: Lösen Sie das Matrixprodukt .
Das Ergebnis des Matrixprodukts lautet daher:
Frage 11
(UNICAMP 2018) Die und B reelle Zahlen, so dass die Matrix erfüllt die Gleichung
, auf was ich ist die Identitätsmatrix 2. Ordnung. Daher ist das Produkt ab es ist das gleiche wie
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
Richtige Antwort: a) -2.
Schritt 1: Bestimmen Sie .
Schritt 2: Bestimmen Sie a. DAS.
Schritt 3: Bestimmen Sie b. I, wobei I die Identitätsmatrix ist.
Schritt 4: Addiere aA + bI.
Schritt 5: Ordne die entsprechenden Begriffe in zu.
Schritt 6: Lösen Sie das System, indem Sie a in Gleichung I isolieren.
Einsetzen in Gleichung II.
Ersetzen des Wertes von b
Schritt 7: Führen Sie die Multiplikation durch a.b.
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