Exponentialfunktion: 5 kommentierte Übungen

DAS Exponentialfunktion ist jede Funktion von ℝ in ℝ^*_+, definiert durch f(x) = a^x, wobei a eine reelle Zahl ist, die größer als Null und ungleich 1 ist.

Nutzen Sie die kommentierten Übungen, um alle Ihre Zweifel an diesem Inhalt auszuräumen und überprüfen Sie Ihr Wissen in den gelösten Fragen der Wettbewerbe.

Kommentierte Übungen

Übung 1

Eine Gruppe von Biologen untersucht die Entwicklung einer bestimmten Bakterienkolonie und fanden heraus, dass unter idealen Bedingungen die Anzahl der Bakterien durch den Ausdruck N(t) bestimmt werden kann. = 2000. 2^0,5t, t in Stunden.

Unter diesen Bedingungen, wie lange nach Beginn der Beobachtung wird die Anzahl der Bakterien 8192000 betragen?

Lösung

In der vorgeschlagenen Situation kennen wir die Anzahl der Bakterien, d. h. wir wissen, dass N(t) = 8192000 ist, und wir wollen den Wert von t ermitteln. Ersetzen Sie einfach diesen Wert im angegebenen Ausdruck:

Um diese Gleichung zu lösen, schreiben wir die Zahl 4096 in Primfaktoren, denn wenn wir dieselbe Basis haben, können wir die Exponenten gleichsetzen. Daher erhalten wir, wenn wir die Zahl faktorisieren:

Somit weist die Kultur nach 1 Tag (24 h) nach Beginn der Beobachtung 8 192 000 Bakterien auf.

Übung 2

Radioaktive Stoffe haben eine natürliche Tendenz, im Laufe der Zeit ihre radioaktive Masse zu zersetzen. Die Zeit, die es braucht, bis die Hälfte seiner radioaktiven Masse zerfällt, wird Halbwertszeit genannt.

Die Menge an radioaktivem Material eines bestimmten Elements wird angegeben durch:

Sein,

N(t): die Menge an radioaktivem Material (in Gramm) in einer bestimmten Zeit.
Nein₀: die anfängliche Materialmenge (in Gramm)
T: Halbwertszeit (in Jahren)
t: Zeit (in Jahren)

In Anbetracht der Tatsache, dass die Halbwertszeit dieses Elements 28 Jahre beträgt, bestimmen Sie die Zeit, die das radioaktive Material benötigt, um auf 25% seiner ursprünglichen Menge zu reduzieren.

Lösung

Für die vorgeschlagene Situation A(t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, also können wir den gegebenen Ausdruck schreiben und T durch 28 Jahre ersetzen, dann:

Daher wird es 56 Jahre dauern, bis die Menge an radioaktivem Material um 25 % reduziert ist..

Wettbewerbsfragen

1) Unesp - 2018

Ibuprofen ist ein verschreibungspflichtiges Medikament gegen Schmerzen und Fieber mit einer Halbwertszeit von etwa 2 Stunden. Dies bedeutet, dass beispielsweise nach 2 Stunden Einnahme von 200 mg Ibuprofen nur noch 100 mg des Medikaments im Blutkreislauf des Patienten verbleiben. Nach weiteren 2 Stunden (insgesamt 4 Stunden) verbleiben nur noch 50 mg im Blutkreislauf und so weiter. Wenn ein Patient alle 6 Stunden 800 mg Ibuprofen erhält, beträgt die Menge dieses Medikaments, die in der 14. Stunde nach Einnahme der ersten Dosis im Blut verbleibt,

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Siehe Antwort

Da die anfängliche Medikamentenmenge im Blutkreislauf alle 2 Stunden halbiert wird, können wir diese Situation mit folgendem Schema darstellen:

Beachten Sie, dass der Exponent in jeder Situation gleich der Zeit dividiert durch 2 ist. Somit können wir die Medikamentenmenge im Blutkreislauf als Funktion der Zeit mit dem folgenden Ausdruck definieren:

Sein

Q(t): die Menge in einer bestimmten Stunde
Q₀: die anfänglich eingenommene Menge
t: Zeit in Stunden

Wenn man bedenkt, dass alle 6 h 800 mg Ibuprofen eingenommen wurden, dann haben wir:

Um die Medikamentenmenge im Blutkreislauf 14 Stunden nach Einnahme der 1. Dosis zu ermitteln, müssen wir die Mengen der 1., 2. und 3. Dosis addieren. Wenn wir diese Größen berechnen, erhalten wir:

Die Menge der 1. Dosis wird unter Berücksichtigung der Zeit von 14 Stunden ermittelt, also haben wir:

Für die zweite Dosis betrug die Zeit, wie im obigen Diagramm gezeigt, 8 Stunden. Ersetzen dieses Wertes haben wir:

Die Zeit für die 3. Dosis beträgt nur 2 Stunden. Die auf die 3. Dosis bezogene Menge beträgt dann:

Da wir nun die Mengen für jede eingenommene Dosis kennen, können wir die Gesamtmenge ermitteln, indem wir jede der gefundenen Mengen addieren:

Q_gesamt= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternative b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Ein See zur Versorgung einer Stadt wurde nach einem Industrieunfall kontaminiert und erreichte die Toxizitätsstufe T₀, was dem Zehnfachen des Ausgangsniveaus entspricht.
Lesen Sie die folgenden Informationen.

• Die natürliche Strömung des Sees ermöglicht es, alle zehn Tage 50 % seines Volumens zu erneuern.
• Das Toxizitätsniveau T(x) nach x Tagen des Unfalls kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

Betrachten Sie D als die kleinste Anzahl von Tagen der Unterbrechung der Wasserversorgung, die erforderlich ist, damit die Toxizität wieder auf das ursprüngliche Niveau zurückkehrt.
Wenn log 2 = 0,3, ist der Wert von D gleich:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Siehe Antwort

Um zum ursprünglichen Toxizitätsniveau zurückzukehren, ist Folgendes erforderlich:

Setzen wir diesen Wert in die gegebene Funktion ein, erhalten wir:

Multiplizieren mit "Kreuz" wird die Gleichung:

2 ^0,1x= 10

Wenden wir den Logarithmus zur Basis 10 auf beide Seiten an, um daraus eine Gleichung ersten Grades zu machen:

log (2^0,1x) = log 10

Denken Sie daran, dass der Logarithmus von 10 in der Basis 10 gleich 1 ist, unsere Gleichung sieht wie folgt aus:

0,1x. log 2 = 1

Wenn man bedenkt, dass log 2 = 0,3 ist, und diesen Wert in die Gleichung einsetzen:

Somit beträgt die kleinste Anzahl von Tagen, an denen die Lieferung ungefähr ausgesetzt werden sollte, 34 Tage.

Alternative c) 34

3) Fuvesp - 2018

Sei f: ℝ → ℝ und g: ℝ₊ →ℝ definiert durch

beziehungsweise.

Der Graph der zusammengesetzten Funktion g_ºVertrauen:

Siehe Antwort

Der gesuchte Graph ist die zusammengesetzte Funktion g_ºf daher ist der erste Schritt, diese Funktion zu bestimmen. Dazu müssen wir die Funktion f (x) im x der Funktion g (x) ersetzen. Durch diesen Ersatz finden wir:

Mit der Logarithmuseigenschaft des Quotienten und einer Potenz erhalten wir:

Beachten Sie, dass die oben gefundene Funktion vom Typ ax+b ist, einer affinen Funktion. Ihr Diagramm wird also eine gerade Linie sein.

Außerdem ist die Steigung a gleich log₁₀ 5, was eine positive Zahl ist, so dass die Grafik ansteigt. Auf diese Weise können wir die Optionen b, c und e eliminieren.

Uns bleiben die Optionen a und d, aber für x=0 haben wir gof = - log₁₀ 2, was ein negativer Wert ist, wie in Graph a dargestellt.

Alternative a)

4) Unicamp - 2014

Die folgende Grafik zeigt die biotische Potenzialkurve q (t) für eine Population von Mikroorganismen über die Zeit t.

Da a und b reelle Konstanten sind, ist die Funktion, die dieses Potential darstellen kann

a) q(t) = at + b
b) q(t) = ab^t
c) q(t) = at² + bt
d) q(t) = a + log _B t

Siehe Antwort

Aus dem gezeigten Graphen können wir erkennen, dass bei t=0 die Funktion gleich 1000 ist. Außerdem kann man auch beobachten, dass die Funktion nicht affin ist, da der Graph keine Gerade ist.

Wäre die Funktion vom Typ q (t) = at²+bt, wenn t = 0, wäre das Ergebnis gleich Null und nicht 1000. Es ist also auch keine quadratische Funktion.

So loggen Sie sich ein_B0 ist nicht definiert und könnte auch nicht die Funktion q (t) = a + log. haben_Bt.

Die einzige Möglichkeit wäre also die Funktion q(t) = ab^t. Unter Berücksichtigung von t=0 ist die Funktion q (t) = a, da a ein konstanter Wert ist, reicht es aus, dass es gleich 1000 ist, damit die Funktion in den gegebenen Graphen passt.

Alternative b) q (t) = ab^t

5) Feind (PPL) - 2015

Die Arbeitergewerkschaft eines Unternehmens schlägt vor, dass die Gehaltsuntergrenze der Klasse R$ 1.800,00 beträgt und schlägt eine feste prozentuale Erhöhung für jedes Arbeitsjahr vor. Der Ausdruck, der dem Gehaltsvorschlag (s) in Abhängigkeit von der Dienstzeit (t) in Jahren entspricht, ist s (t) = 1800. (1,03)^t .

Nach dem Vorschlag der Gewerkschaft wird das Gehalt eines Berufstätigen aus diesem Unternehmen mit 2 Dienstjahren in Real

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Siehe Antwort

Der von der Gewerkschaft vorgeschlagene Ausdruck zur Berechnung des Lohns als Funktion der Zeit entspricht einer Exponentialfunktion.

Um den Gehaltswert in der angegebenen Situation zu ermitteln, berechnen wir den Wert von s, wenn t = 2, wie unten angegeben:

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternative e) 1 909.62

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