Regel der drei Übungen

DAS Regel der Drei ist ein Verfahren zur Lösung von Problemen mit proportionalen Größen.

Da es eine große Anwendbarkeit hat, ist es sehr wichtig zu wissen, wie man Probleme mit diesem Tool löst.

Nutzen Sie also die kommentierten Übungen und gelösten Wettbewerbsfragen, um Ihr Wissen zu diesem Thema zu überprüfen.

Kommentierte Übungen

Übung 1

Um Ihren Hund zu füttern, gibt eine Person alle 15 Tage 10 kg Futter aus. Wie hoch ist die Gesamtfuttermenge pro Woche, wenn man bedenkt, dass pro Tag immer die gleiche Futtermenge hinzugefügt wird?

Lösung

Wir müssen immer damit beginnen, die Größen und ihre Beziehungen zu identifizieren. Es ist sehr wichtig, richtig zu erkennen, ob die Größen direkt oder umgekehrt proportional sind.

In dieser Übung sind die Gesamtmenge des aufgenommenen Futters und die Anzahl der Tage direkt proportional, denn je mehr Tage, desto größer die Gesamtmenge, die ausgegeben wird.

Um die Beziehung zwischen den Größen besser zu visualisieren, können wir Pfeile verwenden. Die Richtung des Pfeils zeigt auf den höchsten Wert jeder Größenordnung.

Größen, deren Pfeilpaare in die gleiche Richtung zeigen, sind direkt proportional und solche, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen, umgekehrt proportional.

Lösen wir dann die vorgeschlagene Übung, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Wenn wir die Gleichung lösen, haben wir:

Somit beträgt die pro Woche verzehrte Futtermenge ca. 4,7 kg.

Auch sehen: Verhältnis und Proportion

Übung 2

Ein Wasserhahn füllt einen Tank in 6 h. Wie lange dauert die Befüllung desselben Tanks, wenn 4 Zapfstellen mit der gleichen Durchflussmenge wie die vorherige Zapfstelle verwendet werden?

Lösung

Bei diesem Problem sind die beteiligten Mengen die Anzahl der Anzapfungen und die Zeit. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Zeit zum Befüllen des Tanks umso kürzer ist, je höher die Anzahl der Zapfstellen ist.

Daher sind die Mengen umgekehrt proportional. In diesem Fall müssen wir beim Schreiben des Anteils eines der Verhältnisse invertieren, wie im folgenden Diagramm gezeigt:

Gleichung lösen:

Dadurch wird der Tank vollständig gefüllt 1,5 Stunden.

Auch sehen: Einfache und zusammengesetzte Drei-Regel

Übung 3

In einem Unternehmen produzieren 50 Mitarbeiter 200 Teile und arbeiten 5 Stunden am Tag. Wenn sich die Mitarbeiterzahl halbiert und die Arbeitszeit pro Tag auf 8 Stunden reduziert, wie viele Teile werden dann produziert?

Lösung

Die im Problem angegebenen Mengen sind: Anzahl der Mitarbeiter, Anzahl der Teile und geleistete Arbeitsstunden pro Tag. Wir haben also eine zusammengesetzte Dreierregel (mehr als zwei Größen).

Bei dieser Art der Berechnung ist es wichtig, getrennt zu analysieren, was mit der Unbekannten (x) passiert, wenn wir den Wert der anderen beiden Größen ändern.

Dabei haben wir erkannt, dass die Anzahl der Teile kleiner wird, wenn wir die Anzahl der Mitarbeiter reduzieren, daher sind diese Mengen direkt proportional.

Die Anzahl der Teile erhöht sich, wenn wir die Anzahl der Arbeitsstunden pro Tag erhöhen. Daher sind sie auch direkt proportional.

In der folgenden Grafik zeigen wir dies durch die Pfeile an, die auf die steigende Richtung der Werte zeigen.

Wenn wir die Dreierregel lösen, haben wir:

So wird produziert 160 Stück.

Auch sehen: Drei zusammengesetzte Regel

Wettbewerbsprobleme behoben

1) Epcar - 2016

Zwei Maschinen A und B unterschiedlicher Modelle, die jeweils ihre konstante Produktionsgeschwindigkeit beibehalten, produzieren gemeinsam n gleiche Teile und benötigen gleichzeitig 2 Stunden und 40 Minuten. Die Maschine A, die allein arbeitet und ihre Geschwindigkeit konstant hält, würde in 2 Betriebsstunden n/2 dieser Teile produzieren.

Richtig ist, dass Maschine B bei konstanter Produktionsgeschwindigkeit auch n/2 dieser Teile in herstellen würde

a) 40 Minuten.
b) 120 Minuten.
c) 160 Minuten.
d) 240 Minuten.

Siehe Antwort

Da die Gesamtproduktionszeit 2 Stunden und 40 Minuten beträgt und wir bereits wissen, dass Maschine A in 2 Stunden n/2 Stück selbst produziert, wollen wir herausfinden, wie viel sie allein in den verbleibenden 40 Minuten produziert. Verwenden wir dazu die Dreierregel.

Lösung der Dreierregel:

Dies ist die Anzahl der Teile, die von Maschine A in 40 min produziert werden, also in 2 h und 40 min produziert sie allein:

Wir können dann die von Maschine B in 2h und 40 min produzierte Menge berechnen, indem wir die von den beiden Maschinen (n) produzierte Menge von der von Maschine A produzierten Menge subtrahieren:

Es ist nun möglich zu berechnen, wie lange Maschine B brauchen würde, um n/2 Teile zu produzieren. Lassen Sie uns dafür wieder eine Dreierregel aufstellen:

Wenn wir die Dreierregel lösen, haben wir:

Somit produziert Maschine B n/2 Stück in 240 min.

Alternative d: 240 min

Auch sehen: Größen direkt und umgekehrt proportional

2) Cefet - MG - 2015

In einem Unternehmen produzieren 10 Mitarbeiter 150 Stück in 30 Arbeitstagen. Die Anzahl der Mitarbeiter, die das Unternehmen benötigt, um in 20 Arbeitstagen 200 Stück zu produzieren, beträgt

a) 18
b) 20
c) 22
d) 24

Siehe Antwort

Dieses Problem beinhaltet eine zusammengesetzte Dreierregel, da wir drei Größen haben: Anzahl der Mitarbeiter, Anzahl der Teile und Anzahl der Tage.

Anhand der Pfeile erkennen wir, dass die Anzahl der Teile und die Anzahl der Mitarbeiter Größen sind magnitude
direkt proportional. Tage und Anzahl der Mitarbeiter sind umgekehrt proportional.
Um die Dreierregel zu lösen, müssen wir also die Anzahl der Tage invertieren.

Bald werden 20 Mitarbeiter benötigt.

Alternative b: 20

Auch sehen: Drei zusammengesetzte Regelübungen

3) Feind - 2013

Eine Industrie hat ein Wasserreservoir mit einem Fassungsvermögen von 900 m³. Wenn der Behälter gereinigt werden muss, muss das gesamte Wasser abgelassen werden. Das Ablassen des Wassers erfolgt über sechs Abflüsse und dauert 6 Stunden, wenn das Reservoir voll ist. Diese Industrie wird ein neues Reservoir mit einer Kapazität von 500 m² bauen³, deren Wasserabfluss in 4 Stunden erfolgen sollte, wenn der Behälter voll ist. Die im neuen Reservoir verwendeten Abflüsse müssen mit den vorhandenen identisch sein.
Die Menge der Abflüsse im neuen Reservoir sollte gleich

a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9

Siehe Antwort

Diese Frage besteht aus einer dreiteiligen Regel, nämlich den Mengen, der Kapazität des Reservoirs, der Anzahl der Abflüsse und der Anzahl der Tage.

An der Position der Pfeile erkennen wir, dass die Kapazität und die Anzahl der Abflüsse direkt proportional sind. Die Anzahl der Tage und die Anzahl der Abflüsse sind umgekehrt proportional, also kehren wir die Anzahl der Tage um:

Somit werden 5 Drainagen benötigt.

Alternative c: 5

4) UERJ - 2014

Vermerken Sie in der Tabelle die Anzahl der beim Bundesamt für Medizin (CFM) registrierten aktiven Ärzte und die Anzahl Zahl der im Einheitlichen Gesundheitssystem (SUS) tätigen Ärzte pro tausend Einwohner in den fünf Regionen Brasiliens.

SUS bietet für jede Gruppe von x Einwohnern 1,0 Arzt an.
In der Region Nord ist der Wert von x ungefähr gleich:

a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515

Siehe Antwort

Um das Problem zu lösen, werden wir die Anzahl der SUS-Ärzte und die Einwohnerzahl in der Region Nord berücksichtigen. Daher müssen wir diese Informationen aus dem dargestellten Diagramm entfernen.
Wenn wir die Dreierregel mit den angegebenen Werten machen, haben wir:

Wenn wir die Dreierregel lösen, haben wir:

Daher stellt SUS etwa 1 Arzt pro 1515 Einwohner in der Region Nord.

Alternative d: 1515

Auch sehen: Einfache Drei-Regel-Übungen

5) Feind - 2017

Um 17:15 Uhr setzt ein heftiger Regen ein, der mit konstanter Intensität fällt. Ein zunächst leeres Schwimmbecken in Form eines rechteckigen Parallelepipeds beginnt, Regenwasser zu sammeln und um 18 Uhr erreicht der Wasserspiegel darin eine Höhe von 20 cm. In diesem Moment wird das Ventil geöffnet, das den Wasserfluss durch einen Abfluss am Boden dieses Beckens freigibt, dessen Durchfluss konstant ist. Um 18:40 Uhr hört der Regen auf und genau in diesem Moment sank der Wasserstand im Becken auf 15 cm.

Der Moment, in dem das Wasser in diesem Pool vollständig abläuft, liegt zwischen

a) 19 h 30 min und 20 h 10 min
b) 19 h 20 min und 19 h 30 min
c) 19 h 10 min und 19 h 20 min
d) 19 Uhr und 19 Uhr 10 min
e) 18 h 40 min und 19 h

Siehe Antwort

Die Information sagt uns, dass bei 45 Minuten Regen die Höhe des Poolwassers auf 20 cm angestiegen ist. Danach wurde das Ablassventil geöffnet, es regnete jedoch 40 min weiter.

Berechnen wir dann die Wasserhöhe, die in diesem Zeitintervall zum Pool hinzugefügt wurde, nach der folgenden Dreierregel:

Wenn wir diese Dreierregel berechnen, haben wir:

Berechnen wir nun die Wassermenge, die seit dem Öffnen des Abflusses abgelassen wurde. Diese Menge entspricht der Summe des hinzugefügten Wassers abzüglich der noch im Pool vorhandenen Menge, dh:

Daher sind seit Öffnung des Abflusses (40 min) 205/9 cm Wasser geflossen. Lassen Sie uns nun berechnen, wie lange es dauert, die im Pool verbleibende Menge abzulassen, nachdem es aufgehört hat zu regnen.

Verwenden wir dazu eine weitere Dreierregel:

Rechnend haben wir:

Somit ist der Pool in ca. 26 min leer. Addiert man diesen Wert zu dem Moment, in dem der Regen aufhört, wird er nach ca. 19:6 min leer.

Alternative d: 19 Uhr und 19 Uhr 10 min

Um mehr zu erfahren, lesen Sie auch:

• Prozentsatz
• Prozentuale Übungen
• Mathematik in Enem
• Übungen zu Verhältnis und Proportion