Trigonometrie ist ein wichtiges Thema in der Mathematik, das es ermöglicht, neben anderen trigonometrischen Funktionen Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens zu kennen.
Um Ihr Studium zu verbessern und Ihr Wissen zu erweitern, folgen Sie der Liste mit 8 Übungen, plus 4 Aufnahmeprüfungsfragen, die alle Schritt für Schritt gelöst werden.
Übung 1
Eine Person beobachtete am Morgen den Schatten eines Gebäudes auf dem Boden und stellte fest, dass es 63 Meter maß, wenn die Sonnenstrahlen einen Winkel von 30° mit der Oberfläche bildeten. Berechnen Sie anhand dieser Informationen die Höhe des Gebäudes.
Richtige Antwort: Ungefähr 36,37 m.
Das Gebäude, der Schatten und der Sonnenstrahl bestimmen ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem 30°-Winkel und der Tangente können wir die Höhe des Gebäudes bestimmen.
Da die Höhe des Gebäudes h beträgt, gilt:
Übung 2
Auf einem Umfang mit einem Durchmesser von 3 bildet ein Segment AC, Sehne genannt, einen 90°-Winkel mit einer anderen Sehne CB gleicher Länge. Welches Maß haben die Saiten?
Richtige Antwort: Die Länge des Seils beträgt 2,12 cm.
Da die Segmente AC und CB einen Winkel von 90° bilden und gleich lang sind, ist das gebildete Dreieck gleichschenklig und die Basiswinkel sind gleich.
Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich 180° ist und wir bereits einen Winkel von 90° haben, bleiben noch 90° übrig, die gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel aufgeteilt werden. Somit beträgt der Wert dieser jeweils 45°.
Da der Durchmesser 3 cm beträgt, beträgt der Radius 1,5 cm und wir können den Kosinus von 45° verwenden, um die Länge der Saite zu bestimmen.
Übung 3
Ein Radfahrer, der an einer Meisterschaft teilnimmt, nähert sich der Ziellinie am oberen Ende einer Piste. Die Gesamtlänge dieses letzten Teils der Prüfung beträgt 60 m und der zwischen der Rampe und der Horizontalen gebildete Winkel beträgt 30°. Berechnen Sie in diesem Wissen die vertikale Höhe, die der Radfahrer zum Klettern benötigt.
Richtige Antwort: Die Höhe beträgt 30 m.
Wenn wir die Höhe von h nennen, haben wir:
Übung 4
Die folgende Abbildung besteht aus drei Dreiecken, wobei die Höhe h zwei rechte Winkel bestimmt. Die Elementwerte sind:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Finden Sie den Wert von a+b.
Richtige Antwort:
Wir können die Maße der Segmente a und b anhand der Tangenten der gegebenen Winkel bestimmen.
Berechnung eines:
Berechnung von b:
So,
Übung 5
Ein Flugzeug startete von Stadt A und flog 50 km in gerader Linie, bis es in Stadt B landete. Danach flog er weitere 40 km, diesmal in Richtung Stadt D. Diese beiden Routen stehen im 90°-Winkel zueinander. Aufgrund ungünstiger Wetterbedingungen erhielt der Pilot jedoch eine Mitteilung vom Kontrollturm, dass er nicht in Stadt D landen könne und nach Stadt A zurückkehren solle.
Um die Kehrtwende von Punkt C aus zu machen, müsste der Pilot eine Drehung um wie viel Grad nach rechts machen?
Erwägen:
Sünde 51° = 0,77
cos 51° = 0.63
tan 51° = 1,25
Richtige Antwort: Der Pilot muss 129° nach rechts drehen.
Wenn wir die Figur analysieren, sehen wir, dass der Pfad ein rechtwinkliges Dreieck bildet.
Nennen wir den gesuchten Winkel W. Die Winkel W und Z sind ergänzend, dh sie bilden einen flachen Winkel von 180°.
Somit ist W + Z = 180°.
W = 180 - Z (Gleichung 1)
Unsere Aufgabe ist es nun, den Z-Winkel zu bestimmen und dazu werden wir seinen Tangens verwenden.
Wir müssen uns fragen: Was ist der Winkel, dessen Tangens 1,25 beträgt?
Das Problem liefert uns diese Daten, tan 51° = 1,25.
Dieser Wert kann auch in einer trigonometrischen Tabelle oder mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner mit der Funktion gefunden werden:
Wenn wir den Wert von Z in Gleichung 1 einsetzen, erhalten wir:
B = 180° - 51° = 129°
Übung 6
Ein monochromatischer Lichtstrahl erleidet beim Übergang von einem Medium zu einem anderen eine Abweichung davon. Diese Ausbreitungsänderung hängt mit den Brechungsindizes der Medien zusammen, wie in der folgenden Beziehung gezeigt:
Snells Gesetz - Descartes
Dabei sind i und r die Einfalls- und Brechungswinkel und n1 und n2 die Brechungsindizes der Mittel 1 und 2.
Beim Auftreffen auf die Trennfläche zwischen Luft und Glas ändert ein Lichtstrahl seine Richtung, wie in der Abbildung gezeigt. Was ist der Brechungsindex von Glas?
Daten: Luftbrechungsindex gleich 1.
Richtige Antwort: Der Brechungsindex des Glases ist gleich .
Ersetzen der Werte, die wir haben:
Übung 7
Um einen Holzscheit in seine Werkstatt zu ziehen, band ein Schlosser ein Seil an den Baumstamm und zog ihn drei Meter über eine horizontale Fläche. Eine Kraft von 40 N durch die Saite bildete einen Winkel von 45° zur Fahrtrichtung. Berechnen Sie die Arbeit der aufgebrachten Kraft.
Richtige Antwort: Die geleistete Arbeit beträgt ca. 84,85 J.
Arbeit ist eine skalare Größe, die sich aus dem Produkt aus Kraft und Weg ergibt. Wenn die Kraft nicht die gleiche Richtung wie die Verschiebung hat, müssen wir diese Kraft zerlegen und nur die Komponente in dieser Richtung betrachten.
In diesem Fall müssen wir den Betrag der Kraft mit dem Kosinus des Winkels multiplizieren.
Also haben wir:
Übung 8
Zwischen zwei Bergen mussten die Bewohner zweier Dörfer einen mühsamen Weg auf und ab gehen. Um die Situation zu lösen, wurde beschlossen, eine Schrägseilbrücke zwischen den Dörfern A und B zu bauen.
Sie müssten die Entfernung zwischen den beiden Dörfern anhand der Geraden berechnen, auf der sich die Brücke erstrecken würde. Da die Einwohner bereits die Höhe der Städte und die Steigwinkel kannten, konnte diese Entfernung berechnet werden.
Berechnen Sie die Länge der Brücke anhand des Diagramms unten und wissen Sie, dass die Städte 100 m hoch waren.
Richtige Antwort: Die Brücke soll eine Länge von ca. 157,73 m haben.
Die Brückenlänge ist die Summe der an die gegebenen Winkel angrenzenden Seiten. Wenn wir die Höhe von h nennen, haben wir:
Berechnung mit dem 45°-Winkel
Berechnung mit einem Winkel von 60°
Um die Brückenlänge zu bestimmen, summieren wir die erhaltenen Werte.
Frage 1
Cefet - SP
Im Dreieck ABC unten, CF = 20 cm und BC = 60 cm. Markieren Sie die Messungen der AF- bzw. BE-Segmente.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Antwort: b) 10, 20
Zur Bestimmung von AF
Wir stellen fest, dass AC = AF + CF ist, also müssen wir:
AF = AC - CF (Gleichung 1)
CF ist durch das Problem gegeben und entspricht 20 cm.
AC kann mit 30° Sinus bestimmt werden.
BC wird durch das Problem bereitgestellt und entspricht 60 cm.
Einsetzen in Gleichung 1 haben wir:
BE. bestimmen
Erste Beobachtung:
Wir verifizieren, dass die Figur innerhalb des Dreiecks aufgrund der in der Figur bestimmten rechten Winkel ein Rechteck ist.
Daher sind ihre Seiten parallel.
Zweite Beobachtung:
Das BE-Segment bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 30°, wobei: die Höhe gleich dem soeben ermittelten AF ist und BE die Hypotenuse ist.
Berechnung durchführen:
Wir verwenden 30° Sinus, um BE zu bestimmen
Frage 2
EPCAR-MG
Ein Flugzeug startet von Punkt B unter einer konstanten Neigung von 15° zur Horizontalen. 2 km von B entfernt ist die vertikale Projektion C des höchsten Punktes D eines 600 m hohen Gebirges, wie in der Abbildung gezeigt.
Daten: cos 15° = 0,97; sin 15° = 0,26; tg 15° = 0,27
Es ist richtig zu sagen:
a) Das Flugzeug kollidiert nicht mit der Säge, bevor es eine Höhe von 540 m erreicht hat.
b) In 540 m Höhe kommt es zu einer Kollision zwischen Flugzeug und Säge.
c) Das Flugzeug kollidiert mit der Säge bei D.
d) Wenn das Flugzeug 220 m vor B abhebt und die gleiche Neigung beibehält, gibt es keine Kollision des Flugzeugs mit der Säge.
Antwort: b) In 540 m Höhe kommt es zu einer Kollision zwischen Flugzeug und Säge.
Zunächst ist es erforderlich, das gleiche Vielfache der Längenmesseinheit zu verwenden. Daher werden wir 2 km bis 2000 m gehen.
Unter den gleichen anfänglichen Flugbedingungen können wir die Höhe vorhersagen, in der sich das Flugzeug in der vertikalen Projektion von Punkt C befinden wird.
Unter Verwendung der 15°-Tangente und der Definition der Höhe als h erhalten wir:
Frage 3
ENEM 2018
Um einen geraden Kreiszylinder zu dekorieren, wird ein rechteckiger Transparentpapierstreifen verwendet, auf den eine Diagonale, die mit der Unterkante 30° bildet, fett gezeichnet ist. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 6/π cm, und beim Wickeln des Streifens wird eine Linie in Form einer Helix erhalten, wie in der Abbildung gezeigt.
Der Messwert der Zylinderhöhe in Zentimetern ist:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Antwort: b) 24√3
Beim Betrachten der Figur stellen wir fest, dass um den Zylinder 6 Umdrehungen gemacht wurden. Da es sich um einen geraden Zylinder handelt, haben wir überall in seiner Höhe einen Kreis als Basis.
Um das Maß der Basis des Dreiecks zu berechnen.
Die Länge eines Kreises erhält man aus der Formel:
Wobei r der Radius e ist, gleich ,wir haben:
Wie sind 6 Runden:
Wir können die 30°-Bräune verwenden, um die Höhe zu berechnen.
Frage 4
ENEM 2017
Sonnenstrahlen erreichen die Oberfläche eines Sees in einem X-Winkel mit seiner Oberfläche, wie in der Abbildung gezeigt.
Unter bestimmten Bedingungen kann angenommen werden, dass die Lichtstärke dieser Strahlen auf der Seeoberfläche ungefähr durch I(x) = k gegeben ist. sin (x), wobei k eine Konstante ist und angenommen wird, dass X zwischen 0° und 90° liegt.
Bei x = 30º wird die Lichtstärke auf wie viel Prozent ihres Maximalwertes reduziert?
A) 33 %
B) 50%
C) 57 %
D) 70%
E) 86 %
Antwort: B) 50%
Ersetzen wir den 30° Sinuswert in der Funktion, erhalten wir:
Nachdem der Wert von k um die Hälfte reduziert wurde, beträgt die Intensität 50 %.
Üben Sie weitere Übungen in:
Trigonometrie-Übungen
Erweitern Sie Ihr Wissen mit:
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Metrische Beziehungen im Rechteckdreieck
Trigonometrie
