DAS Dreiecksähnlichkeit wird verwendet, um das unbekannte Maß eines Dreiecks zu finden, indem man die Maße eines anderen Dreiecks kennt.
Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind die Maße ihrer entsprechenden Seiten proportional. Diese Beziehung wird verwendet, um viele Geometrieprobleme zu lösen.
Nutzen Sie also die kommentierten und gelösten Übungen, um alle Ihre Zweifel zu lösen.
Probleme behoben
1) Matrosenlehrling - 2017
Siehe die Abbildung unten
Ein Gebäude wirft im selben Moment einen 30 m langen Schatten auf den Boden, in dem eine 6 m große Person einen 2,0 m langen Schatten wirft. Man kann sagen, dass die Höhe des Gebäudes es wert ist
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Wir können uns vorstellen, dass das Gebäude, sein projizierter Schatten und der Sonnenstrahl ein Dreieck bilden. Ebenso haben wir auch ein Dreieck, das von der Person, ihrem Schatten und dem Sonnenstrahl gebildet wird.
Wenn man bedenkt, dass die Sonnenstrahlen parallel sind und der Winkel zwischen dem Gebäude und dem Boden und der Person der Boden ist gleich 90º, die Dreiecke, die in der Abbildung unten angezeigt werden, sind ähnlich (zwei Winkel gleich).
Da die Dreiecke ähnlich sind, können wir den folgenden Anteil schreiben:
Alternativ: a) 27 m
2) Fuvest - 2017
In der Abbildung hat das Rechteck ABCD Seiten der Länge AB = 4 und BC = 2. Sei M der Mittelpunkt der Seite und N der Mittelpunkt der Seite
. Die Segmente
das Segment abfangen
an den Punkten E bzw. F.
Die Fläche des Dreiecks AEF ist gleich
Die Fläche des Dreiecks AEF kann durch Verringern der Fläche des Dreiecks ABE aus der Fläche des Dreiecks AFB ermittelt werden, wie unten gezeigt:
Beginnen wir damit, die Fläche des AFB-Dreiecks zu finden. Dazu müssen wir den Höhenwert dieses Dreiecks ermitteln, da der Basiswert bekannt ist (AB = 4).
Beachten Sie, dass die Dreiecke AFB und CFN insofern ähnlich sind, als sie zwei gleiche Winkel haben (Fall AA), wie in der folgenden Abbildung gezeigt:
Zeichnen wir die Höhe H1, relativ zur Seite AB, im Dreieck AFB. Da das Maß der Seite CB gleich 2 ist, können wir annehmen, dass die relative Höhe der Seite NC im Dreieck FNC gleich 2 ist - H1.
Wir können dann den folgenden Anteil schreiben:
Wenn wir die Höhe des Dreiecks kennen, können wir seine Fläche berechnen:
Um die Fläche des Dreiecks ABE zu finden, müssen Sie auch seinen Höhenwert berechnen. Dazu verwenden wir die Tatsache, dass die in der folgenden Abbildung gezeigten Dreiecke ABM und AOE ähnlich sind.
Außerdem ist das Dreieck OEB ein rechtwinkliges Dreieck und die anderen beiden Winkel sind gleich (45º), also ist es ein gleichschenkliges Dreieck. Somit sind die beiden Schenkel dieses Dreiecks H2, wie das Bild unten:
Somit ist die Seite AO des Dreiecks AOE gleich 4 - H2. Basierend auf diesen Informationen können wir folgenden Anteil angeben:
Wenn wir den Höhenwert kennen, können wir jetzt die Fläche des Dreiecks ABE berechnen:
Somit ist die Fläche des Dreiecks AFE gleich:
Alternative: d)
3) Cefet/MG - 2015
Die folgende Abbildung zeigt einen rechteckigen Billardtisch mit einer Breite und Länge von 1,5 bzw. 2,0 m. Ein Spieler muss den weißen Ball von Punkt B werfen und den schwarzen Ball von Punkt P schlagen, ohne zuerst einen anderen zu treffen. Da sich der gelbe bei Punkt A befindet, wirft dieser Spieler den weißen Ball zu Punkt L, damit er abprallen und mit dem schwarzen kollidieren kann.
Wenn der Einfallswinkel des Balls auf der Seite des Tisches und der Abprallwinkel gleich sind, wie in der Abbildung gezeigt, dann beträgt der Abstand von P nach Q in cm ungefähr
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Die im Bild unten rot markierten Dreiecke sind ähnlich, da sie zwei gleiche Winkel haben (Winkel gleich α und Winkel gleich 90º).
Daher können wir den folgenden Anteil schreiben:
Alternative: a) 67
4) Militärakademie/RJ - 2015
In einem Dreieck ABC gehören die Punkte D und E jeweils zu den Seiten AB und AC und sind so, dass DE / / BC. Wenn F ein Punkt von AB ist, so dass EF / / CD und die Messungen von AF und FD e 4 bzw. 6 sind, ist die Messung des Segments DB:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Wir können das Dreieck ABC wie unten gezeigt darstellen:
Da das Segment DE parallel zu BC ist, sind die Dreiecke ADE und ABC insofern ähnlich, als ihre Winkel kongruent sind.
Wir können dann den folgenden Anteil schreiben:
Die Dreiecke FED und DBC sind ebenfalls ähnlich, da die Segmente FE und DC parallel sind. Somit gilt auch folgender Anteil:
Isolieren wir das y in diesem Verhältnis, haben wir:
Ersetzen des y-Werts in der ersten Gleichheit:
Alternative: a) 15
5) Epcar - 2016
Ein Land in Form eines rechtwinkligen Dreiecks wird durch einen Zaun auf der Hypotenusehalbierenden in zwei Parzellen geteilt, wie in der Abbildung gezeigt.
Es ist bekannt, dass die Seiten AB und BC dieses Geländes 80 m bzw. 100 m messen. Somit ist das Verhältnis zwischen dem Umfang von Los I und dem Umfang von Los II in dieser Reihenfolge
Um das Verhältnis zwischen den Perimetern herauszufinden, müssen wir den Wert aller Seiten von Abbildung I und Abbildung II kennen.
Beachten Sie, dass die Winkelhalbierende der Hypotenuse die BC-Seite in zwei kongruente Segmente teilt, sodass die CM- und MB-Segmente 50 m messen.
Da das Dreieck ABC ein Rechteck ist, können wir die Seite AC mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Beachten Sie jedoch, dass dieses Dreieck ein pythagoräisches Dreieck ist.
Somit ist die Hypotenuse gleich 100 (5. 20) und ein Bein gleich 80 (4.20), dann kann das andere Bein nur gleich 60 (3.20) sein.
Wir haben auch festgestellt, dass die Dreiecke ABC und MBP ähnlich sind (Fall AA), da sie einen gemeinsamen Winkel haben und der andere gleich 90º ist.
Um den Wert von x zu finden, können wir den folgenden Anteil schreiben:
Der Wert von z kann unter Berücksichtigung des Anteils ermittelt werden:
Wir können den Wert von y auch finden, indem wir Folgendes tun:
Da wir nun alle Seiten kennen, können wir die Umfänge berechnen.
Umfang von Abbildung I:
Umfang von Abbildung II:
Daher ist das Verhältnis zwischen den Perimetern gleich:
Alternative: d)
6) Feind - 2013
Der Besitzer eines Bauernhofes möchte eine Stützstange anbringen, um zwei Pfosten mit Längen von 6 m und 4 m besser zu sichern. Die Abbildung stellt die reale Situation dar, in der die Pfosten durch die Segmente AC und BD und die Stange beschrieben werden wird durch das EF-Segment dargestellt, alle senkrecht zum Boden, was durch das gerade Liniensegment angezeigt wird AB. Die Segmente AD und BC stellen Stahlseile dar, die installiert werden.
Welchen Wert soll die Stablänge EF haben?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 ich
Um das Problem zu lösen, nennen wir die Vorbauhöhe als z und die Messungen der AF- und FB-Segmente von x und ja, bzw. wie unten gezeigt:
Das Dreieck ADB ähnelt dem Dreieck AEF darin, dass beide einen Winkel von 90 ° und einen gemeinsamen Winkel haben, sodass sie im Fall AA ähnlich sind.
Daher können wir den folgenden Anteil schreiben:
Wenn wir "in einem Kreuz" multiplizieren, erhalten wir die Gleichheit:
6x = h (x + y) (I)
Andererseits werden die Dreiecke ACB und FEB aus den gleichen oben dargelegten Gründen auch ähnlich sein. Wir haben also den Anteil:
Auf die gleiche Weise lösen:
4y = h (x + y) (II)
Beachten Sie, dass die Gleichungen (I) und (II) nach dem Gleichheitszeichen denselben Ausdruck haben, sodass wir Folgendes sagen können:
6x = 4y
Einsetzen des Wertes von x in die zweite Gleichung:
Alternativ: c) 2,4 m
7) Fuvest - 2010
In der Abbildung ist das Dreieck ABC rechteckig mit den Seiten BC = 3 und AB = 4. Außerdem gehört Punkt D zum Schlüsselbein. , der zum Schlüsselbein gehörende Punkt E
und Punkt F gehört zur Hypotenuse
, sodass DECF ein Parallelogramm ist. wenn
, also ist die Fläche des DECF-Parallelogramms wert
Die Parallelogrammfläche wird durch Multiplikation des Basiswertes mit der Höhe ermittelt. Nennen wir h die Höhe und x das Basismaß, wie unten gezeigt:
Da DECF ein Parallelogramm ist, sind seine Seiten zu zweit parallel. Auf diese Weise sind die Seiten AC und DE parallel. Also die Winkel Sie sind gleich.
Wir können dann feststellen, dass die Dreiecke ABC und DBE ähnlich sind (Fall AA). Wir haben auch, dass die Hypotenuse des Dreiecks ABC gleich 5 ist (Dreieck 3,4 und 5).
Schreiben wir auf diese Weise den folgenden Anteil:
Um das Maß x der Basis zu finden, betrachten wir das folgende Verhältnis:
Wenn wir die Parallelogrammfläche berechnen, haben wir:
Alternativ: a)