Satz des Pythagoras: Gelöste und kommentierte Aufgaben

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das quadrierte Hypotenusenmaß gleich der Summe der Quadrate der Beinmaße ist.

Nutzen Sie die gelösten und kommentierten Übungen, um alle Ihre Zweifel an diesem wichtigen Inhalt zu beantworten.

Übungsvorschläge (mit Auflösung)

Frage 1

Carlos und Ana verließen ihr Zuhause, um vom selben Punkt aus zu arbeiten, der Garage des Gebäudes, in dem sie leben. Nach 1 Minute, die einen senkrechten Weg zurücklegte, waren sie 13 m voneinander entfernt.

Wenn Carlos' Auto in dieser Zeit 7 m mehr schaffte als das von Ana, wie weit waren sie dann von der Garage entfernt?

a) Carlos war 10 m von der Garage entfernt und Ana 5 m.
b) Carlos war 14 m von der Garage entfernt und Ana 7 m.
c) Carlos war 12 m von der Garage entfernt und Ana 5 m.
d) Carlos war 13 m von der Garage entfernt und Ana 6 m.

Siehe Antwort

Richtige Antwort: c) Carlos war 12 m von der Garage entfernt und Ana 5 m.

Die Seiten des in dieser Frage gebildeten rechtwinkligen Dreiecks sind:

• Hypotenuse: 13 m
• größeres Bein: 7 + x
• kürzeres Bein: x

Wenden wir die Werte im Satz von Pythagoras an, haben wir:

Jetzt wenden wir die Formel von Bhaskara an, um den Wert von x zu finden.

Da es sich um ein Längenmaß handelt, müssen wir den positiven Wert verwenden. Daher sind die Seiten des in dieser Frage gebildeten rechtwinkligen Dreiecks:

• Hypotenuse: 13 m
• längeres Bein: 7 + 5 = 12 m
• kürzeres Bein: x = 5 m

Ana war also 5 Meter von der Garage und Carlos 12 Meter entfernt.

Frage 2

Als Carla nach ihrem Kätzchen suchte, sah es auf einem Baum. Dann bat sie ihre Mutter um Hilfe und sie stellten eine Leiter neben den Baum, um der Katze beim Abstieg zu helfen.

In dem Wissen, dass die Katze 8 Meter über dem Boden und der Fuß der Leiter 6 Meter vom Baum entfernt war, wie lange wurde die Leiter verwendet, um das Kätzchen zu retten?

a) 8 Meter.
b) 10 Meter.
c) 12 Meter.
d) 14 Meter.

Siehe Antwort

Richtige Antwort: b) 10 Meter.

Beachten Sie, dass die Höhe der Katze und der Abstand zum Fuß der Leiter einen rechten Winkel bilden, dh einen 90-Grad-Winkel. Da die Leiter dem rechten Winkel gegenüber steht, entspricht ihre Länge der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

Wenn wir die im Satz des Pythagoras angegebenen Werte anwenden, entdecken wir den Wert der Hypotenuse.

Daher ist die Leiter 10 Meter lang.

Frage 3

Welches stellt die Werte eines rechtwinkligen Dreiecks gemäß den in den folgenden Alternativen vorgestellten Maßen dar?

a) 14 cm, 18 cm und 24 cm
b) 21 cm, 28 cm und 32 cm
c) 13 cm, 14 cm und 17 cm
d) 12 cm, 16 cm und 20 cm

Siehe Antwort

Richtige Antwort: d) 12 cm, 16 cm und 20 cm.

Um herauszufinden, ob die vorgestellten Maße ein rechtwinkliges Dreieck bilden, müssen wir den Satz des Pythagoras auf jede Alternative anwenden.

a) 14 cm, 18 cm und 24 cm

b) 21 cm, 28 cm und 32 cm

c) 13 cm, 14 cm und 17 cm

d) 12 cm, 16 cm und 20 cm

Daher entsprechen die Maße 12 cm, 16 cm und 20 cm den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, da das Quadrat der Hypotenuse, der längsten Seite, gleich der Summe der Quadrate der Beine ist.

Frage 4

Beachten Sie die folgenden geometrischen Figuren, deren eine Seite in der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks von 3 m, 4 m und 5 m liegt.

Bestimmen Sie die Höhe (h) des gleichseitigen Dreiecks BCD und den Diagonalwert (d) des Quadrats BCFG.

a) h = 4,33 m und d = 7,07 m
b) h = 4,72 m und d = 8,20 m
c) h = 4,45 m und d = 7,61 m
d) h = 4,99 m und d = 8,53 m

Siehe Antwort

Richtige Antwort: a) h = 4,33 m und d = 7,07 m.

Da das Dreieck gleichseitig ist, haben seine drei Seiten das gleiche Maß. Indem wir eine Linie zeichnen, die der Höhe des Dreiecks entspricht, teilen wir es in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.

Das gleiche gilt für das Quadrat. Wenn wir seine diagonale Linie zeichnen, sehen wir zwei rechtwinklige Dreiecke.

Wenden wir die Daten aus der Aussage im Satz des Pythagoras an, entdecken wir die Werte wie folgt:

1. Berechnung der Höhe des Dreiecks (rechter Dreiecksschenkel):

Wir erhalten dann die Formel zur Berechnung der Höhe. Ersetzen Sie jetzt einfach den Wert von L und berechnen Sie ihn.

2. Berechnung der Diagonale des Quadrats (Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks):

Daher beträgt die Höhe des gleichseitigen Dreiecks BCD 4,33 und der Diagonalwert des Quadrats BCFG 7,07.

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Frage 5

(Cefet/MG - 2016) Ein Drachen, dessen Figur unten abgebildet ist, wurde im ABCD-Viereckformat gebaut, da und . der Stock des Drachens schneidet die Rute an seinem Mittelpunkt E einen rechten Winkel bildend. Bei der Konstruktion dieses Drachens sind die Maßnahmen von verwendet werden, sind 25 cm bzw. 20 cm, und die Messung von gleich des Maßes von .

Unter diesen Bedingungen ist das Maß von , in cm, ist gleich

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Siehe Antwort

Richtige Alternative: c) 55.

Wenn wir die Fragefigur betrachten, sehen wir, dass das DE-Segment, das wir finden möchten, gleich dem BD-Segment ist, indem wir das BE-Segment subtrahieren.

Da wir also wissen, dass das Segment BE gleich 20 cm ist, müssen wir den Wert des Segments BD ermitteln.

Beachten Sie, dass das Problem uns die folgenden Informationen liefert:

Um das Maß von BD zu finden, müssen wir also den Wert des Segments AC kennen.

Da Punkt E das Segment in zwei gleiche Teile (Mittelpunkt) teilt, dann . Daher besteht der erste Schritt darin, das CE-Segmentmaß zu finden.

Um die CE-Messung zu finden, haben wir identifiziert, dass das Dreieck BCE ein Rechteck ist, dass BC die Hypotenuse und BE und CE die Beine sind, wie in der Abbildung unten gezeigt:

Wir werden dann den Satz des Pythagoras anwenden, um das Maß des Beins zu bestimmen.

25² = 20²+x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = 225
x = 15 cm

Um den Kragen zu finden, hätten wir auch beobachten können, dass das Dreieck pythagoräisch ist, dh die Maße seiner Seiten sind ein Vielfaches der Maße des Dreiecks 3, 4, 5.

Wenn wir also 4 mit 5 multiplizieren, haben wir den Wert des Kragens (20) und wenn wir 5 mit 5 multiplizieren, haben wir die Hypotenuse (25). Daher konnte das andere Bein nur 15 (5. 3).

Nachdem wir nun den EC-Wert gefunden haben, können wir die anderen Maße finden:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Daher ist das Maß von entspricht 55cm.

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Frage 6

(IFRS - 2017) Betrachten Sie ein gleichseitiges Dreieck mit einer 5√3 -Seite. Wie groß ist die Höhe bzw. die Fläche dieses Dreiecks?

Siehe Antwort

Richtige Alternative: e) 7,5 cm und 75√3/4 cm²

Zuerst zeichnen wir das gleichseitige Dreieck und zeichnen die Höhe, wie in der Abbildung unten gezeigt:

Beachten Sie, dass die Höhe die Basis in zwei Segmente des gleichen Maßes teilt, da das Dreieck gleichseitig ist. Beachten Sie auch, dass das Dreieck ACD in der Abbildung ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Um das Höhenmaß zu finden, verwenden wir daher den Satz des Pythagoras:

Wenn wir die Höhenmessung kennen, können wir die Fläche durch die Formel finden:

Frage 7

(IFRS - 2016) In der folgenden Abbildung ist der Wert von x bzw. y

Siehe Antwort

Richtige Alternative: a) 4√2 und √97.

Um den Wert von x zu ermitteln, wenden wir den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck mit einer Seitenlänge von 4 cm an.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = 32
x = 4√2 cm

Um den Wert von y zu bestimmen, verwenden wir auch den Satz des Pythagoras, wobei wir nun berücksichtigen, dass ein Bein 4 cm und das andere 9 cm misst (4 + 5 = 9).

ja² = 4² + 9²
ja² = 16 + 81
y = √97 cm

Daher beträgt der Wert von x bzw. y 4√2 bzw. √97.

Frage 8

(Lehrling Matrose - 2017) Sehen Sie sich die Abbildung unten an.

In der obigen Abbildung gibt es ein gleichschenkliges Dreieck ACD, in dem das Segment AB 3 cm misst, die ungleiche Seite AD 10√2 cm misst und die Segmente AC und CD senkrecht stehen. Daher ist es richtig zu sagen, dass das BD-Segment misst:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Siehe Antwort

Richtige Alternative: d) √149 cm

Unter Berücksichtigung der im Problem enthaltenen Informationen erstellen wir die folgende Abbildung:

Gemäß der Abbildung finden wir, dass es notwendig ist, das Maß der Seite zu finden, die wir a nennen, um den Wert von x zu bestimmen.

Da das Dreieck ACD ein Rechteck ist, wenden wir den Satz des Pythagoras an, um den Wert des Schenkels a zu bestimmen.

Da wir nun den Wert von a kennen, können wir den Wert von x ermitteln, indem wir das rechtwinklige Dreieck BCD betrachten.

Beachten Sie, dass das Bein BC dem Beinmaß minus 3 cm entspricht, d. h. 10 - 3 = 7 cm. Wenden wir den Satz des Pythagoras auf dieses Dreieck an, so erhalten wir:

Daher ist es richtig zu sagen, dass das BD-Segment √149 cm misst.

Frage 9

(IFRJ - 2013) Der Sportplatz auf dem Arrozal Campus einer Bundesanstalt ist rechteckig, 100 m lang und 50 m breit, in dieser Abbildung durch das ABCD-Rechteck dargestellt.

Alberto und Bruno sind zwei Studenten, die im Hof ​​Sport treiben. Alberto geht von Punkt A zu Punkt C entlang der Diagonale des Rechtecks ​​und kehrt auf demselben Weg zum Ausgangspunkt zurück. Bruno beginnt bei Punkt B, umrundet den Hof vollständig, geht entlang der Seitenlinien und kehrt zum Ausgangspunkt zurück. Unter Berücksichtigung von √5 = 2.24 heißt es also, dass Bruno mehr ging als Alberto

a) 38m.
b) 64m.
c) 76m.
d) 82 m.

Siehe Antwort

Richtige Alternative: c) 76 m.

Die Diagonale des Rechtecks ​​teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke, wobei die Hypotenuse die Diagonale ist und die Seiten gleich den Seiten des Rechtecks ​​sind.

Um das Diagonalmaß zu berechnen, wenden wir also den Satz des Pythagoras an:

Während Alberto ging und zurückkam, legte er 224 m zurück.

Bruno legte eine Strecke zurück, die dem Umfang des Rechtecks ​​entspricht, mit anderen Worten:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Bruno ging also 76 m länger als Alberto (300 - 112 = 76 m).

Frage 10

(Enem - 2017) Um einen Kinderfesttisch zu dekorieren, verwendet ein Koch eine kugelförmige Melone mit einem Durchmesser von 10 cm, die als Unterlage zum Aufspießen verschiedener Süßigkeiten dient. Es entfernt eine kugelförmige Radkappe von der Melone, wie in der Abbildung gezeigt, und um die Stabilität dieser Stütze zu gewährleisten, wodurch es für die Melone schwierig wird, auf dem Tisch zu rollen, wird der Vorsprung so geschnitten, dass der Radius r des kreisförmigen Schnittabschnitts behaart ist. minus 3cm. Andererseits möchte der Koch eine möglichst große Fläche in der Region haben, auf der die Süßigkeiten fixiert werden.

Um alle seine Ziele zu erreichen, muss der Chef die Melonenkappe in einer Höhe h in Zentimetern gleich abschneiden

Siehe Antwort

Richtige Alternative: c) 1

Bei Betrachtung der in der Frage dargestellten Zahl haben wir festgestellt, dass die Höhe h durch Verringern des Maßes des Segments OA vom Maß des Radius der Kugel (R) ermittelt werden kann.

Der Radius der Kugel (R) entspricht dem halben Durchmesser, der in diesem Fall 5 cm beträgt (10: 2 = 5).

Wir müssen also den Wert des OA-Segments ermitteln. Dazu betrachten wir das in der Abbildung unten dargestellte OAB-Dreieck und wenden den Satz des Pythagoras an.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm²

Wir könnten den Wert von x auch direkt ermitteln, indem wir feststellen, dass es sich um das pythagoräische Dreieck 3,4 und 5 handelt.

Der Wert von h ist also gleich:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm²

Daher sollte der Koch die Melonenkappe auf einer Höhe von 1 cm abschneiden.

Frage 11

(Enem - 2016 - 2. Antrag) Boccia ist eine Sportart, die auf Plätzen gespielt wird, die ein flaches und ebenes Gelände sind, das durch umlaufende Holzplattformen begrenzt ist. Ziel dieser Sportart ist es, Kugeln zu werfen, das sind Bälle aus synthetischem Material, um platziere sie so nah wie möglich an den Bolim, der eine kleinere Kugel ist, vorzugsweise aus Stahl, vorher gestartet. Abbildung 1 zeigt eine Bocciakugel und einen Bolim, die auf einem Platz gespielt wurden. Angenommen, ein Spieler hat einen Ball mit einem Radius von 5 cm, der gegen den Bolim gelehnt ist, mit einem Radius von 2 cm geworfen, wie in Abbildung 2 gezeigt.

Betrachten Sie Punkt C als Mittelpunkt der Kugel und Punkt O als Mittelpunkt der Kugel. Es ist bekannt, dass A und B die Punkte sind, an denen die Bocciakugel bzw. der Bollin den Spielfeldboden berühren, und dass der Abstand zwischen A und B gleich d ist. Wie ist unter diesen Bedingungen das Verhältnis zwischen d und dem Radius des Bolims?

Siehe Antwort

Richtige Alternative: e) √10

Um den Wert des Abstands d zwischen den Punkten A und B zu berechnen, erstellen wir eine Figur, die die Mittelpunkte der beiden Kugeln verbindet, wie unten gezeigt:

Beachten Sie, dass die blau gepunktete Figur wie ein Trapez geformt ist. Teilen wir dieses Trapez wie unten gezeigt:

Durch Teilen des Trapezes erhalten wir ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse des Dreiecks ist gleich der Summe des Radius der Bocciakugel mit dem Radius des Bolims, also 5 + 2 = 7 cm.

Das Maß eines der Beine ist gleich d und das Maß des anderen Beins ist gleich dem Maß des Segments CA, das ist der Radius des Bocciaballs abzüglich des Radius des Bolims (5 - 2 = 3) .

Auf diese Weise können wir das Maß von d finden, indem wir den Satz des Pythagoras auf dieses Dreieck anwenden, dh:

7² = 3² - von²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Daher ist das Verhältnis zwischen dem Abstand d und dem Bolim gegeben durch:.

Frage 12

(Enem - 2014) Täglich verbraucht ein Wohnhaus 20 160 Wh. Diese Residenz verfügt über 100 Solarzellen rechteckig (Geräte, die Sonnenlicht in elektrische Energie umwandeln können) mit den Maßen 6 cm x 8 cm. Jede dieser Zellen produziert über den Tag verteilt 24 Wh pro Zentimeter Diagonale. Der Eigentümer dieses Hauses möchte pro Tag genau so viel Energie produzieren, wie sein Haus verbraucht. Was sollte dieser Besitzer tun, damit er sein Ziel erreicht?

a) Entfernen Sie 16 Zellen.
b) Entfernen Sie 40 Zellen.
c) Fügen Sie 5 Zellen hinzu.
d) Fügen Sie 20 Zellen hinzu.
e) Fügen Sie 40 Zellen hinzu.

Siehe Antwort

Richtige Alternative: a) Entfernen Sie 16 Zellen.

Zuerst müssen Sie herausfinden, wie hoch die Energieabgabe jeder Zelle ist. Dazu müssen wir das Maß der Diagonale des Rechtecks ​​ermitteln.

Die Diagonale entspricht der Hypotenuse des Dreiecks mit Beinen von 8 cm und 6 cm. Wir berechnen dann die Diagonale, indem wir den Satz des Pythagoras anwenden.

Wir beobachten jedoch, dass das fragliche Dreieck pythagoräisch ist und ein Vielfaches von Dreieck 3, 4 und 5 ist.

Auf diese Weise beträgt die Messung der Hypotenuse 10 cm, da die Seiten des pythagoräischen Dreiecks 3,4 und 5 mit 2 multipliziert werden.

Da wir nun die Diagonalmessung kennen, können wir die von den 100 Zellen erzeugte Energie berechnen, dh:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Da die verbrauchte Energie 20 160 Wh beträgt, müssen wir die Anzahl der Zellen reduzieren. Um diese Nummer zu finden, werden wir Folgendes tun:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Wenn wir diesen Wert durch die von einer Zelle produzierte Energie dividieren, erhalten wir die Zahl, die reduziert werden sollte, d. h.:

3 840: 240 = 16 Zellen

Daher sollte die Aktion des Besitzers, um sein Ziel zu erreichen, darin bestehen, 16 Zellen zu entfernen.

Um mehr zu erfahren, siehe auch: Trigonometrie-Übungen