Inverse Matrixberechnung: Eigenschaften und Beispiele

Die inverse Matrix oder invertierbare Matrix ist eine Art von quadratische Matrix, d. h. es hat die gleiche Anzahl von Zeilen (m) und Spalten (n).

Es tritt auf, wenn das Produkt zweier Matrizen zu a Identitätsmatrix gleicher Ordnung (gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten).

Um die Inverse einer Matrix zu finden, wird daher Multiplikation verwendet.

DAS. B = B. A = ich_Nein (wenn Matrix B invers zu Matrix A ist)

Aber was ist die Identitätsmatrix?

DAS Identitätsmatrix ist definiert, wenn die Elemente der Hauptdiagonale alle gleich 1 sind und die anderen Elemente gleich 0 (Null) sind. Es wird durch I. angezeigt_Nein:

Eigenschaften der inversen Matrix

Für jede Matrix gibt es nur eine Inverse.
Nicht alle Matrizen haben eine inverse Matrix. Sie ist nur invertierbar, wenn die Produkte quadratischer Matrizen eine Identitätsmatrix ergeben (I_Nein)
Die inverse Matrix einer Inversen entspricht der Matrix selbst: A = (A^-1)^-1
Die transponierte Matrix einer inversen Matrix ist auch invers: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
Die inverse Matrix einer transponierten Matrix entspricht der Transponierten der Inversen: (A^-1 DAS^t)-1

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Die inverse Matrix einer Identitätsmatrix ist gleich der Identitätsmatrix: I^-1 = ich

Auch sehen: Matrizen

Beispiele für inverse Matrix

2x2 inverse Matrix

3x3 inverse Matrix

Schritt für Schritt: Wie berechnet man die inverse Matrix?

Wir wissen, dass, wenn das Produkt zweier Matrizen gleich der Identitätsmatrix ist, diese Matrix eine Inverse hat.

Beachten Sie, dass, wenn Matrix A die Inverse von Matrix B ist, die Notation verwendet wird: A^-1.

Beispiel: Finden Sie die Inverse der Matrix unterhalb der 3x3-Ordnung.

Zuallererst müssen wir daran denken, dass A. DAS^-1= I (Die Matrix multipliziert mit ihrem Inversen ergibt die Identitätsmatrix I_Nein).

Jedes Element der ersten Zeile der ersten Matrix wird mit jeder Spalte der zweiten Matrix multipliziert.

Daher werden die Elemente der zweiten Zeile der ersten Matrix mit den Spalten der zweiten multipliziert.

Und schließlich die dritte Zeile des ersten mit den Spalten des zweiten:

Indem wir die Elemente mit der Identitätsmatrix abgleichen, können wir die Werte von:

a = 1
b = 0
c = 0

Wenn wir diese Werte kennen, können wir die anderen Unbekannten in der Matrix berechnen. In der dritten Zeile und ersten Spalte der ersten Matrix haben wir a + 2d = 0. Beginnen wir also damit, den Wert von zu finden d, indem Sie die gefundenen Werte ersetzen:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Ebenso finden wir in der dritten Zeile und zweiten Spalte den Wert von und:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Weiter haben wir in der dritten Zeile der dritten Spalte: c + 2f. Beachten Sie, dass die zweite Identitätsmatrix dieser Gleichung nicht gleich Null, sondern gleich 1 ist.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Wenn wir in die zweite Zeile und die erste Spalte gehen, finden wir den Wert von G:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

In der zweiten Zeile und zweiten Spalte finden wir den Wert von H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Lassen Sie uns schließlich den Wert von ermitteln ich durch die Gleichung der zweiten Zeile und dritten Spalte:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
ich = 3/2

Nachdem wir alle unbekannten Werte entdeckt haben, können wir alle Elemente finden, aus denen die inverse Matrix von A besteht: