mmc und mdc repräsentieren das kleinste gemeinsame Vielfache bzw. den größten gemeinsamen Teiler zwischen zwei oder mehr Zahlen.
Verpassen Sie nicht die Gelegenheit, alle Ihre Zweifel durch die kommentierten und gelösten Übungen, die wir unten präsentieren, zu klären.
Vorgeschlagene Übungen
Übung 1
Bestimmen Sie in Bezug auf die Zahlen 12 und 18, ohne 1 zu berücksichtigen.
a) Die Teiler von 12.
b) Die Teiler von 18.
c) Die gemeinsamen Teiler von 12 und 18.
d) Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18.
a) 2, 3, 4, 6 und 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 und 6
d) 6
Übung 2
Berechnen Sie MMC und MDC zwischen 36 und 44.
Übung 3
Betrachten Sie eine natürliche Zahl x. Dann klassifizieren Sie die Aussagen als wahr oder falsch und begründen Sie.
a) Der größte gemeinsame Teiler von 24 und x kann 7 sein.
b) Der größte gemeinsame Teiler von 55 und 15 kann 5 sein.
a) Nein, denn 7 ist kein Teiler von 24.
b) Ja, da 5 ein gemeinsamer Teiler zwischen 55 und 15 ist.
Übung 4
Bei einer Präsentation zur Vorstellung des neuen Rennwagens des Teams TodaMatéria wurde ein ungewöhnliches Rennen ausgetragen. Drei Fahrzeuge nahmen teil: das Launch Car, das Auto der letzten Saison und ein normaler Pkw.
Die Strecke ist oval, die drei starteten gemeinsam und hielten konstante Geschwindigkeiten. Das Startauto braucht 6 Minuten, um eine Runde zu absolvieren. Das Auto der letzten Saison braucht 9 Minuten für eine Runde und der Pkw benötigt 18 Minuten für eine Runde.
Wie lange dauert es nach dem Start des Rennens, bis sie wieder gemeinsam denselben Startpunkt durchlaufen?
Zur Bestimmung ist es notwendig, die mmc zu berechnen (6, 9, 18).
Also gingen sie 18 Minuten später noch einmal durch denselben Ausgangspunkt.
Übung 5
In einer Konfektion befinden sich Maschenrollen mit den Maßen 120, 180 und 240 Zentimeter. Sie müssen den Stoff in gleiche Stücke schneiden, so groß wie möglich, und es bleibt nichts übrig. Wie lang darf jeder Maschenstreifen maximal sein?
Um dies zu bestimmen, müssen wir den mdc (120,180,240) berechnen.
Die längstmögliche Länge ohne Überhänge beträgt 60 cm.
Übung 6
Bestimmen Sie MMC und MDC aus den folgenden Zahlen.
a) 40 und 64
Richtige Antwort: mmc = 320 und mdc = 8.
Um mmc und mdc zu finden, besteht die schnellste Methode darin, die Zahlen gleichzeitig durch die kleinstmöglichen Primzahlen zu dividieren. Siehe unten.
Beachten Sie, dass mmc durch Multiplizieren der beim Faktorisieren verwendeten Zahlen berechnet wird und gcd durch Multiplizieren der Zahlen berechnet wird, die die beiden Zahlen gleichzeitig teilen.
b) 80, 100 und 120
Richtige Antwort: mmc = 1200 und mdc = 20.
Die gleichzeitige Zerlegung der drei Zahlen ergibt mmc und mdc der dargestellten Werte. Siehe unten.
Die Division durch die Primzahlen ergab das Ergebnis von mmc durch Multiplikation der Faktoren und mdc durch Multiplikation der Faktoren, die die drei Zahlen gleichzeitig teilen.
Übung 7
Bestimmen Sie mithilfe der Primfaktorzerlegung: Was sind die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen, deren mmc 1260 ist?
a) 32 und 33
b) 33 und 34
c) 35 und 36
d) 37 und 38
Richtige Alternative: c) 35 und 36.
Zuerst müssen wir die Zahl 1260 faktorisieren und die Primfaktoren bestimmen.
Durch Multiplikation der Faktoren finden wir, dass die fortlaufenden Zahlen 35 und 36 sind.
Zum Beweis berechnen wir den mmc der beiden Zahlen.
Übung 8
Anlässlich des Schülertages findet eine Schnitzeljagd mit Schülern aus drei Klassen der 6., 7. und 8. Klasse statt. Siehe unten die Anzahl der Schüler in jeder Klasse.
| Klasse | 6º | 7º | 8º |
| Anzahl der Studenten | 18 | 24 | 36 |
Bestimmen Sie durch das mdc die maximale Anzahl von Schülern in jeder Klasse, die als Teil eines Teams am Wettbewerb teilnehmen können.
Antworte danach: Wie viele Teams können aus der 6., 7. und 8. Klasse mit der maximalen Teilnehmerzahl pro Team gebildet werden?
a) 3, 4 und 5
b) 4, 5 und 6
c) 2, 3 und 4
d) 3, 4 und 6
Richtige Alternative: d) 3, 4 und 6.
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zunächst die gegebenen Werte in Primzahlen zerlegen.
Daher haben wir die maximale Anzahl von Schülern pro Team ermittelt und auf diese Weise hat jede Klasse:
6. Jahr: 18.06. = 3 Mannschaften
7. Jahr: 6/24 = 4 Mannschaften
8. Jahr: 36/6 = 6 Teams
Aufnahmeprüfungen gelöst
Frage 1
(Seglerlehrling - 2016) Sei A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) und y = mdc (A, B), dann ist der Wert von x + y gleich:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Richtige Alternative: d) 520.
Um den Wert der Summe von x und y zu ermitteln, müssen zunächst diese Werte ermittelt werden.
Auf diese Weise werden wir die Zahlen in Primfaktoren zerlegen und dann die mmc und mdc zwischen den gegebenen Zahlen berechnen.
Da wir nun den Wert von x (mmc) und y (mdc) kennen, können wir die Summe ermitteln:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativ: d) 520
Frage 2
(Unicamp - 2015) Die folgende Tabelle informiert über einige Nährwerte für die gleiche Menge von zwei Lebensmitteln, A und B.
Betrachten Sie zwei isokalorische Portionen (mit dem gleichen Energiewert) der Lebensmittel A und B. Das Verhältnis zwischen der Proteinmenge in A und der Proteinmenge in B ist gleich
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Richtige Alternative: c) 8.
Um isokalorische Anteile der Lebensmittel A und B zu finden, berechnen wir die mmc zwischen den jeweiligen Energiewerten.
Wir müssen also die notwendige Menge jedes Lebensmittels berücksichtigen, um den Kalorienwert zu erhalten.
Um einen Kalorienwert von 240 Kcal zu erhalten, ist es für Lebensmittel A notwendig, die Anfangskalorien mit 4 zu multiplizieren (60. 4 = 240). Für Lebensmittel B muss mit 3 (80. 3 = 240).
Somit wird die Proteinmenge in Lebensmittel A mit 4 multipliziert und die in Lebensmittel B mit 3:
Nahrung A: 6. 4 = 24 g
Essen B: 1. 3 = 3 g
Somit haben wir, dass das Verhältnis zwischen diesen Größen gegeben ist durch:
Alternative: c) 8
Frage 3
(UERJ - 2015) In der folgenden Tabelle sind drei Möglichkeiten angegeben, n Notebooks in Paketen anzuordnen:
Wenn n kleiner als 1200 ist, ist die Summe der Ziffern des größten Wertes von n:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Richtige Alternative: b) 17.
Unter Berücksichtigung der in der Tabelle angegebenen Werte haben wir die folgenden Beziehungen:
n = 12. x + 11
n = 20. j + 19
n = 18. z + 17
Beachten Sie, dass wir in den drei Situationen keinen Rest mehr haben, wenn wir 1 Buch zum Wert von n addieren, da wir ein weiteres Paket bilden würden:
n+1 = 12. x + 12
n+1 = 20. x + 20
n+1 = 18. x + 18
Somit ist n + 1 ein gemeinsames Vielfaches von 12, 18 und 20. Wenn wir also mmc (das kleinste gemeinsame Vielfache) finden, können wir daraus den Wert von n+1 ermitteln.
Berechnung der mmc:
Der kleinste Wert von n + 1 ist also 180. Wir wollen jedoch den größten Wert von n kleiner als 1200 finden. Suchen wir also nach einem Vielfachen, das diese Bedingungen erfüllt.
Dazu multiplizieren wir 180, bis wir den gewünschten Wert gefunden haben:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (dieser Wert ist größer als 1 200)
Damit können wir den Wert von n berechnen:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Die Summe seiner Zahlen ergibt sich aus:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternative: b) 17
Auch sehen: MMC und MDC
Frage 4
(Enem - 2015) Ein Architekt renoviert ein Haus. Um einen Beitrag zur Umwelt zu leisten, beschließt es, Holzbretter aus dem Haus wiederzuverwenden. Es hat 40 Bretter mit 540 cm, 30 mit 810 cm und 10 mit 1080 cm, alle gleich breit und dick. Er bat einen Zimmermann, die Bretter in gleich lange Stücke zu schneiden, ohne zu gehen Reste, und damit die neuen Stücke so groß wie möglich, aber kürzer in der Länge waren dass 2m.
Auf Wunsch des Architekten muss der Zimmermann
a) 105 Stück.
b) 120 Stück.
c) 210 Stück.
d) 243 Stück.
e) 420 Stück.
Richtige Alternative: e) 420 Stück.
Da die Stücke gleich lang und so groß wie möglich sein sollen, berechnen wir den mdc (maximaler gemeinsamer Teiler).
Berechnen wir den mdc zwischen 540, 810 und 1080:
Der gefundene Wert kann jedoch nicht verwendet werden, da die Länge auf weniger als 2 m beschränkt ist.
Teilen wir also 2,7 durch 2, da der gefundene Wert auch ein gemeinsamer Teiler von 540, 810 und 1080 ist, da 2 der kleinste gemeinsame Primfaktor dieser Zahlen ist.
Dann beträgt die Länge jedes Stücks 1,35 m (2,7: 2). Jetzt müssen wir berechnen, wie viele Teile wir von jedem Brett haben werden. Dafür machen wir:
5,40: 1,35 = 4 Stück
8.10: 1.35 = 6 Stück
10,80: 1,35 = 8 Stück
Betrachtet man die Menge jeder Platine und addiert sie, so haben wir:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 Stück
Alternativ: e) 420 Stück
Frage 5
(Enem - 2015) Der Manager eines Kinos vergibt jährlich Freikarten an Schulen. In diesem Jahr werden 400 Karten für eine Nachmittagssession und 320 Karten für eine Abendsession desselben Films verteilt. Mehrere Schulen können ausgewählt werden, um Tickets zu erhalten. Es gibt einige Kriterien für die Verteilung von Tickets:
- jede Schule muss Karten für eine einzelne Sitzung erhalten;
- alle teilnahmeberechtigten Schulen müssen die gleiche Anzahl von Tickets erhalten;
- es werden keine Restkarten übrig bleiben (dh alle Karten werden verteilt).
Die Mindestanzahl der Schulen, die gemäß den festgelegten Kriterien für den Erwerb von Tickets ausgewählt werden können, beträgt
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Richtige Alternative: c) 9.
Um die Mindestanzahl von Schulen zu ermitteln, müssen wir die maximale Anzahl von Tickets kennen, die jede Schule erhalten kann, da diese Anzahl in beiden Sitzungen gleich sein muss.
Auf diese Weise berechnen wir den mdc zwischen 400 und 320:
Der gefundene mdc-Wert stellt die größte Anzahl von Tickets dar, die jede Schule erhält, sodass keine Reste übrig bleiben.
Um die Mindestanzahl der wählbaren Schulen zu berechnen, müssen wir auch die Anzahl der Tickets für jede Sitzung durch die Anzahl der Tickets teilen, die jede Schule erhält, sodass wir:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Daher beträgt die Mindestanzahl der Schulen 9 (5 + 4).
Alternative: c) 9.
Frage 6
(Cefet/RJ - 2012) Was ist der Wert des numerischen Ausdrucks? ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Richtige Alternative: a) 0.2222
Um den Wert des numerischen Ausdrucks zu ermitteln, muss zunächst der mmc zwischen den Nennern berechnet werden. So:
Der gefundene mmc ist der neue Nenner der Brüche.
Um den Bruchwert jedoch nicht zu ändern, müssen wir den Wert jedes Zählers mit dem Ergebnis der Division von mmc durch jeden Nenner multiplizieren:
Wenn wir die Addition und Division lösen, haben wir:
Alternative: a) 0,2222
Frage 7
(EPCAR - 2010) Ein Bauer pflanzt Bohnen in einem geraden Beet. Dafür begann er, die Orte zu markieren, an denen er die Samen pflanzen würde. Die folgende Abbildung zeigt die bereits vom Landwirt markierten Punkte und die Abstände zwischen ihnen in cm.
Dieser Bauer hat dann andere Punkte unter den vorhandenen markiert, damit die Entfernung d unter allen war das gleiche und das Größte. wenn x stellt die Anzahl der Entfernungen dar d wurde vom Bauer beschafft, also x ist eine Zahl, die durch teilbar ist
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Richtige Alternative: d) 7.
Um die Frage zu lösen, müssen wir eine Zahl finden, die die präsentierten Zahlen gleichzeitig teilt. Da der Abstand so groß wie möglich sein soll, berechnen wir den mdc zwischen ihnen.
Auf diese Weise beträgt der Abstand zwischen jedem Punkt 5 cm.
Um herauszufinden, wie oft dieser Abstand wiederholt wurde, teilen wir jedes ursprüngliche Segment durch 5 und addieren die gefundenen Werte:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Die gefundene Zahl ist durch 7 teilbar, da 21.7 = 147
Alternative: d) 7
Auch sehen: Vielfache und Teiler
