Gleichungssysteme 1. Grades: Kommentierte und gelöste Aufgaben

Gleichungssysteme ersten Grades bestehen aus einer Reihe von Gleichungen, die mehr als eine Unbekannte aufweisen.

Ein System zu lösen bedeutet, die Werte zu finden, die alle diese Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Viele Probleme werden durch Gleichungssysteme gelöst. Daher ist es wichtig, die Lösungsmethoden für diese Art der Berechnung zu kennen.

Nutzen Sie die gelösten Übungen, um alle Ihre Zweifel zu diesem Thema zu lösen.

Kommentierte und gelöste Probleme

1) Matrosenlehrlinge - 2017

Die Summe einer Zahl x und zweimal einer Zahl y ist - 7; und die Differenz zwischen dem Tripel dieser Zahl x und der Zahl y ist gleich 7. Daher ist es richtig zu sagen, dass das Produkt xy gleich ist:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Siehe Antwort

Beginnen wir damit, die Gleichungen unter Berücksichtigung der im Problem vorgeschlagenen Situation aufzustellen. Somit haben wir:

x + 2.y = - 7 und 3.x - y = 7

Die Werte von x und y müssen beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Sie bilden daher das folgende Gleichungssystem:

Wir können dieses System durch die Additionsmethode lösen. Dazu multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 2:

Addieren der beiden Gleichungen:

Setzen wir den Wert von x ein, der in der ersten Gleichung gefunden wurde, erhalten wir:

1 + 2 Jahre = - 7
2y = - 7 - 1

Somit ist das Produkt xy gleich:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternative: d) - 4

2) Militärakademie/RJ - 2014

Ein Zug fährt immer mit konstanter Geschwindigkeit von einer Stadt zur anderen. Bei einer Fahrt mit 16 km/h mehr Geschwindigkeit verringert sich die Fahrzeit um zweieinhalb Stunden, bei einer Fahrt mit 5 km/h weniger erhöht sich die Fahrzeit um eine Stunde. Wie groß ist die Entfernung zwischen diesen Städten?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Siehe Antwort

Da die Geschwindigkeit konstant ist, können wir die folgende Formel verwenden:

Dann wird der Abstand ermittelt, indem man Folgendes tut:

d = v.t

Für die erste Situation haben wir:

v₁ = v + 16 und t₁ = t - 2,5

Ersetzen dieser Werte in der Entfernungsformel:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40

Wir können v.t durch d in der Gleichung ersetzen und vereinfachen:

-2.5v +16t = 40

Für den Fall, dass die Geschwindigkeit abnimmt:

v₂ = v - 5 und t₂ = t + 1

Dieselbe Ersetzung vornehmen:

d = (v –5). (t+1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Mit diesen beiden Gleichungen können wir das folgende System zusammenstellen:

Lösen wir das System durch die Substitutionsmethode, isolieren wir das v in der zweiten Gleichung:

v = 5 + 5t

Ersetzen dieses Wertes in der ersten Gleichung:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5t = 52,5

Lassen Sie uns diesen Wert ersetzen, um die Geschwindigkeit zu ermitteln:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km/h

Um die Entfernung zu finden, multiplizieren Sie einfach die gefundenen Geschwindigkeits- und Zeitwerte. So:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternative: a) 1200 km

3) Matrosenlehrlinge - 2016

Ein Student zahlte einen Snack von 8 Reais in 50 Cent und 1 Reais. In dem Wissen, dass der Student für diese Zahlung 12 Münzen verwendet hat, bestimmen Sie die Beträge 50 Cent und eine echte Münze, mit der der Snack bezahlt wurde, und kreuzen Sie die richtige Option an.

a) 5 und 7
b) 4 und 8
c) 6 und 6
d) 7 und 5
e) 8 und 4

Siehe Antwort

Wenn wir x die Anzahl der 50-Cent-Münzen, y die Anzahl der 1-Dollar-Münzen und den gezahlten Betrag von 8 Reais berücksichtigen, können wir die folgende Gleichung schreiben:

0,5x + 1y = 8

Wir wissen auch, dass bei der Zahlung 12 Münzen verwendet wurden, also:

x + y = 12

Zusammenbau und Lösung des Systems durch Addition:

Ersetzen des gefundenen Werts von x in der ersten Gleichung:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternative: e) 8 und 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Aus einer Schachtel, die weiße Bälle B und schwarze Bälle enthielt, wurden 15 weiße Bälle entnommen, wobei zwischen den verbleibenden Bällen das Verhältnis von 1 Weiß zu 2 Schwarz verblieb. Dann wurden 10 Schwarze entfernt, wobei in der Schachtel eine Anzahl von Kugeln im Verhältnis von 4 Weißen zu 3 Schwarzen zurückblieb. Ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Werte von B und P kann dargestellt werden durch:

Siehe Antwort

Betrachtet man die erste im Problem angegebene Situation, ergibt sich folgender Anteil:

Multiplizieren wir diesen Anteil "in einem Kreuz", erhalten wir:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Machen wir dasselbe für die folgende Situation:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Wenn wir diese Gleichungen zu einem System zusammenfügen, finden wir die Antwort auf das Problem.

Alternativ: a)

5) Faetec - 2012

Carlos hat an einem Wochenende 36 Matheaufgaben mehr gelöst als Nilton. Da die Gesamtzahl der von beiden gelösten Aufgaben 90 beträgt, ist die Anzahl der von Carlos gelösten Aufgaben gleich:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Siehe Antwort

Betrachtet man x als die Anzahl der von Carlos gelösten Aufgaben und y als die Anzahl der von Nilton gelösten Aufgaben, können wir das folgende System aufstellen:

Wenn wir in der zweiten Gleichung x durch y + 36 ersetzen, erhalten wir:

y + 36 + y = 90
2 Jahre = 90 - 36

Ersetzen dieses Wertes in der ersten Gleichung:

x = 27 + 36
x = 63

Alternative: a) 63

6) Feind/PPL - 2015

Das Zielschießzelt eines Vergnügungsparks wird dem Teilnehmer jedes Mal, wenn er das Ziel trifft, ein Preisgeld von R$20 geben. Auf der anderen Seite muss er jedes Mal, wenn er das Ziel verfehlt, 10,00 $ bezahlen. Es gibt keine anfängliche Gebühr, um das Spiel zu spielen. Ein Teilnehmer feuerte 80 Schüsse ab und erhielt am Ende R$ 100,00. Wie oft hat dieser Teilnehmer das Ziel getroffen?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Siehe Antwort

Wobei x die Anzahl der Schüsse ist, die das Ziel treffen und y die Anzahl der falschen Schüsse, haben wir das folgende System:

Wir können dieses System durch die Additionsmethode lösen, wir werden alle Terme der zweiten Gleichung mit 10 multiplizieren und die beiden Gleichungen addieren:

Daher traf der Teilnehmer das Ziel 30 Mal.

Alternative: a) 30

7) Feind - 2000

Eine Versicherungsgesellschaft sammelte Daten über Autos in einer bestimmten Stadt und stellte fest, dass jedes Jahr durchschnittlich 150 Autos gestohlen werden. Die Zahl der gestohlenen Autos der Marke X ist doppelt so hoch wie die der gestohlenen Autos der Marke Y, und die Marken X und Y machen zusammen etwa 60 % der gestohlenen Autos aus. Die erwartete Anzahl gestohlener Autos der Marke Y beträgt:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Siehe Antwort

Das Problem zeigt, dass die Anzahl der gestohlenen Autos der Marken x und y zusammen 60% der Gesamtzahl entspricht, also:

150.0,6 = 90

Unter Berücksichtigung dieses Wertes können wir das folgende System schreiben:

Setzen wir den Wert von x in die zweite Gleichung ein, erhalten wir:

2y + y = 90
3 Jahre = 90

Alternative: b) 30

Auch sehen: Übungen zur Gleichung 1. Grades mit einem unbekannten