Übungen zu Vernunft und Proportion

Wenn wir in der Mathematik zwei Größen vergleichen wollen, berechnen wir den Quotienten zwischen ihren jeweiligen Messungen. Dieser Quotient heißt Grund.

Die Gleichheit zwischen zwei Gründen heißt Anteil und je nach dem Variationsverhältnis zwischen den Größen können wir Größen direkt oder umgekehrt proportional haben.

Direkt proportionale Mengen: wenn eine Zunahme einer von ihnen zu einer Zunahme der anderen führt oder eine Abnahme einer von ihnen zu einer Abnahme der anderen führt.
Indirekt proportionale Größen: wenn die Vermehrung eines von ihnen zur Verminderung des anderen führt, oder wenn die Verminderung eines von ihnen zur Vermehrung des anderen führt.

Um mehr zu erfahren, besuchen Sie a Liste der gelösten Aufgaben zu Verhältnis und Proportion, die wir vorbereitet haben.

Index

Liste der Übungen zu Verhältnis und Proportion
Lösung von Frage 1
Lösung von Frage 2
Lösung von Frage 3
Lösung von Frage 4
Lösung von Frage 5
Lösung von Frage 6
Lösung von Frage 7
Lösung von Frage 8

Liste der Übungen zu Verhältnis und Proportion

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Frage 1. Bestimmen Sie das Verhältnis zwischen der Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 50 Zentimetern und einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 1,5 Metern. Interpretieren Sie die erhaltene Zahl.

Frage 2. In einem Mathetest mit 15 Fragen bekam Eduarda 12. Wie war Eduardas Leistung im Test?

Frage 3. Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt 180 Kilometer, auf einer Karte wurde diese Entfernung jedoch mit 9 cm dargestellt. Welcher Maßstab wird auf dieser Karte verwendet? Interpretieren Sie die erhaltene Skala.

Frage 4. Prüfen Sie, ob die folgenden Gründe ein Verhältnis bilden:

Das) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{8} \: \mathrm{e}\: \frac{9}{24}$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{5} \: \mathrm{e}\: \frac{18}{25}$

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{150}{50} \: \mathrm{e}\: \frac{12}{4}$

Frage 5. Bestimmen Sie den Wert von $\dpi{100} \bg_white \large x$ in jedem der folgenden Anteile:

Das) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

d) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

und) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

Frage 6. Bestimmen Sie den Wert von $\dpi{100} \bg_white \large x$ im folgenden Verhältnis:

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

Frage 7. Für ein Brotrezept werden 3 Eier pro 750 Gramm Weizenmehl benötigt. Wie viele Eier werden für 5 kg Mehl benötigt?

Frage 8. Um einen Job zu beenden, verbringen 15 Arbeiter 30 Tage. Wie viele Tage haben 9 Arbeiter damit verbracht, dieselbe Arbeit zu erledigen?

Lösung von Frage 1

Wir haben ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 50 cm und ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1,5 m.

Wir brauchen die Maße in der gleichen Einheit. Also wandeln wir 1,5 m in Zentimeter um:

1,5 x 100 cm = 150 cm

Das heißt, 1,5 m = 150 cm.

Jetzt berechnen wir die Bereich von jedem der Quadrate:

DAS eine quadratische Fläche ist durch das Maß der quadratischen Seite gegeben:

L = 50 cm ⇒ Fläche = 2500 cm ²

L = 150 cm ⇒ Fläche = 22500 cm ²

Somit ist das Verhältnis zwischen der Fläche des Quadrats mit einer Seitenlänge von 50 cm und der Fläche des Quadrats mit einer Seitenlänge von 150 cm gegeben durch:

$\dpi{100} \bg_white \large Raz\tilde{a}o = \frac{2500}{22500} = \frac{1}{9}$

Interpretation: Die Fläche des Quadrats mit einer Seitenlänge von 1,5 m beträgt das 9-fache der Fläche des Quadrats mit einer Seitenlänge von 50 cm.

Lösung von Frage 2

Berechnen wir das Verhältnis zwischen der Anzahl der Fragen, die Eduarda richtig beantwortet hat, und der Anzahl der Fragen im Test:

$\dpi{100} \bg_white \large Raz\tilde{a}o = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Dieses Verhältnis bedeutet, dass Eduarda für alle 5 Fragen 4 richtig und 4/5 = 0,8 beantwortet hat, sodass Eduarda im Test 80% verwendet hat.

Lösung von Frage 3

Maßstab ist ein spezielles Verhältnis zwischen der Länge in der Zeichnung und der tatsächlichen Länge.

Wir haben:

Entfernung auf der Karte = 9 cm

Tatsächliche Distanz = 180 km

Zunächst müssen wir beide Maße in derselben Einheit ausdrücken. Wir wandeln 180 km in Zentimeter um:

180 x 100000 cm = 180 000000 cm

Also 180 km = 180 000 000 cm.

Nun berechnen wir den Maßstab:

$\dpi{100} \bg_white \large Scale = \frac{9}{18000000} = \frac{1}{2000000}$

Interpretation: Der auf der Karte verwendete Maßstab war 1: 2000000, das bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 2000000 cm in der tatsächlichen Entfernung entspricht.

Lösung von Frage 4

Ein Anteil ist eine Gleichheit zwischen zwei Verhältnissen und eine der Eigenschaften eines Anteils ist, dass das Produkt der extremen Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme ist.

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Um also herauszufinden, ob zwei Verhältnisse ein Verhältnis bilden, multiplizieren Sie einfach die Kreuze und prüfen Sie, ob das erhaltene Ergebnis dasselbe ist.

Das) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{8} \: \mathrm{e}\: \frac{9}{24}$

3. 24 = 72

9. 8 = 72

Das Ergebnis ist bei beiden Produkten gleich, die Verhältnisse bilden also eine Verhältniszahl.

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{5} \: \mathrm{e}\: \frac{18}{25}$

2. 25 = 50

18. 5 = 90

Das Ergebnis ist bei beiden Produkten nicht gleich, daher bilden die Verhältnisse kein Verhältnis.

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{150}{50} \: \mathrm{e}\: \frac{12}{4}$

150. 4 = 600

12. 50 = 600

Das Ergebnis ist bei beiden Produkten gleich, die Verhältnisse bilden also eine Verhältniszahl.

Lösung von Frage 5

Um den Wert von x zu bestimmen, multiplizieren Sie einfach cross und lösen Sie die entsprechende Gleichung.

Das) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

$\dpi{100} \bg_white \large 63\cdot x = 7 \cdot 9\Rightarrow 63\cdot x = 63 \Rightarrow x = \frac{63}{63} \Rightarrow x = 1$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

$\dpi{100} \bg_white \large 8\cdot x = 2 \cdot 32\Rightarrow 8\cdot x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{8} \Rightarrow x = 8$

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

$\dpi{100} \bg_white \large 2\cdot 2x = 3 \cdot 10\Rightarrow 4\cdot x = 30\Rightarrow x = \frac{30}{4} \Rightarrow x = 7,5$

d) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

$\dpi{100} \bg_white \large 11\cdot x = 3,7 \cdot55\Rightarrow 11\cdot x = 203,5 \Rightarrow x = \frac{203,5}{11} \Rightarrow x = 18,5$

und) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

$\dpi{100} \large 2\cdot (x + 50) = 9 \cdot (x + 8)\Rightarrow 2x + 100 = 9x + 72x$

$\dpi{100} \bg_white \large \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = \frac{28}{7} \Rightarrow x = 4$

Lösung von Frage 6

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

Durch Multiplizieren von Kreuz erhalten wir:

$\dpi{100} \bg_white \large x\cdot x = 24 \cdot 6\Rightarrow x^2 = 144\Rightarrow x = \sqrt{144} \Rightarrow x = \pm 12$

Lösung von Frage 7

Schreiben wir zunächst die beiden Mehlmaße in derselben Einheit. Lassen Sie uns 5 kg in Gramm umwandeln:

5 x 1000 Gramm = 5000 Gramm

Also 5 kg = 5000 Gramm.

Wir haben einen Anteil mit unbekanntem Wert:

3 Eier → 750 Gramm Mehl

x Eier → 5000 Gramm Mehl

D.h.,

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{x} = \frac{750}{5000}$

Lassen Sie uns kreuzen, um den Wert von x zu finden:

$\dpi{100} \bg_white \large 750\cdot x = 3\cdot 5000\Rightarrow 750 \cdot x = 15000\Rightarrow x = \frac{15000}{750} \Rightarrow x = 20$

Für 5 kg Weizenmehl werden also 20 Eier benötigt.

Lösung von Frage 8

Wir haben einen Anteil mit unbekanntem Wert:

15 Arbeiter → 30 Tage

9 Arbeiter → x Tage

Beachten Sie, dass die Anzahl der Tage, um die Arbeit abzuschließen, zunehmen muss, wenn die Anzahl der Arbeiter abnimmt. Somit sind die Verhältnisse indirekt proportional und wir müssen die Reihenfolge von Zähler und Nenner von einem von ihnen ändern:

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{15}{9} = \frac{x}{30}$