Logarithmische Ungleichungen. Logarithmische Ungleichungen lösen

Beim logarithmische Ungleichungen sind alle die präsentieren Logarithmen. Das Unbekannte liegt in diesen Fällen im Logarithmus und/oder im Base. Erinnere dich daran that Logarithmus hat folgendes Format:

Log_Das b = x ↔ a^x = b,

*Das und der Basis des Logarithmus;B es ist das Logarithmus und x es ist das Logarithmus.

Um logarithmische Ungleichungen zu lösen, wenden wir die operative Eigenschaften von Logarithmen und die traditionellen Konzepte zur Lösung von Ungleichungen. Genau wie wir es mit logarithmischen Gleichungen tun, Es ist wichtig, die Existenzbedingungen der Logarithmen zu überprüfen (sowohl die Basis als auch der Logarithmus müssen größer sein als Null).

Durch Entwicklung der logarithmischen Ungleichungen können wir zwei Situationen erreichen:

1.) Ungleichung zwischen Logarithmen auf derselben Grundlage:

Log_Das b < log_Das ç

Hier haben wir zwei zu analysierende Fälle: wenn die Basis ist größer als 1 (a > 1), können wir den Logarithmus vernachlässigen und Ungleichheit aufrechterhalten zwischen den Logarithmen, also:

Wenn a > 1 dann log_Das b < log_Das c ↔ b < c

Wenn andererseits die Basis ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (0 > a > 1), bei der Lösung der logarithmischen Ungleichung müssen wir Ungleichheit umkehren und stellen Sie eine Ungleichung zwischen den Logarithmen her, d. h.:

Wenn 0 > a > 1, dann log_Das b < log_Das c ↔ b > c

2.) Ungleichung zwischen einem Logarithmus und einer reellen Zahl:

Log_Das b < x

Wenn wir beim Lösen einer logarithmischen Ungleichung auf eine Ungleichung zwischen einem Logarithmus und a reelle Zahl, können wir die Grundeigenschaft des Logarithmus anwenden, wobei das Symbol der Ungleichheit:

Log_Das b < x ↔ b < a^x

oder

Log_Das b > x ↔ b > a^x

Schauen wir uns einige Beispiele zur Lösung logarithmischer Ungleichungen an:

Beispiel 1: log₅ (2x - 3) < log₅ x

Wir müssen die Existenzbedingungen der Logarithmen überprüfen:

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2x – 3 > 0 2x > 3 x > ^3/2

x > 0

Wir haben eine Ungleichung zwischen Logarithmen derselben Basis, die ist größer als 1. Wir können dann die Ungleichung nur zwischen den Logarithmanen aufrechterhalten:

Log₅ (2x - 3) < log₅ x
2x – 3
2x - x < 3
x < 3

Beispiel 1 Auflösungstabelle

In diesem Fall lautet die Lösung

.

Beispiel 2: log₂ (x + 3) ≥ 3

Zuerst prüfen wir die Existenzbedingung des Logarithmus:

x + 3 > 0
x > – 3

In diesem Fall besteht eine Ungleichung zwischen einem Logarithmus und einer reellen Zahl. Wir können den Logarithmus auf herkömmliche Weise lösen, wobei die Ungleichung beibehalten wird:

Log₂ (x + 3) ≥ 3
x + 3≥ 2³ 
x + 3≥ 8
x≥ 8 - 3
x≥ 5 

Beispiel 2 Auflösungstabelle

Die Lösung ist .

Beispiel 3: log_1/2 3x > log_1/2 (2x + 5)

Wenn wir die Existenzbedingungen der Logarithmen überprüfen, haben wir:

3x > 0 x > 0

2x + 5 > 0 2x > – 5 ​x > ^– 5/2

In diesem Beispiel gibt es eine Ungleichung zwischen Logarithmen derselben Basis, die kleiner als1. Um es zu lösen, müssen wir die Ungleichung invertieren und zwischen den Logarithmanen anwenden:

Log_1/2 3x > log_1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x - 2x < 5
x < 5

Beispiel 3 Auflösungstabelle

In diesem Fall lautet die Lösung ​.

Von Amanda Gonçalves
Abschluss in Mathematik

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RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Logarithmische Ungleichungen"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacoes-logaritmicas.htm. Zugriff am 28. Juni 2021.

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