DAS Statistik ist das Gebiet der Mathematik, das listet Zahlen und Fakten auf in dem es eine Reihe von Methoden gibt, die es uns ermöglichen, Daten zu sammeln und zu analysieren, um sie zu interpretieren. Die Statistik gliedert sich in zwei Teile: beschreibend und folgernd. Die beschreibende Statistik zeichnet sich durch die Organisation, Analyse und Präsentation von Daten aus, während die inferenzielle Statistik statistics als Merkmal die Untersuchung einer Stichprobe einer bestimmten Grundgesamtheit und darauf aufbauend die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Würfel.
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Grundlagen der Statistik
Als nächstes werden wir die wichtigsten Konzepte und Prinzipien der Statistik sehen. Darauf aufbauend können anspruchsvollere Konzepte definiert werden.
Bevölkerung oder statistisches Universum
Die Population oder das statistische Universum ist das aus allen Elementen gebildete Menge die sich an einem bestimmten Forschungsthema beteiligen.
Beispiele für statistische Universen
a) In einer Stadt gehören alle Einwohner zum statistischen Universum.
b) Bei einem sechsseitigen Würfel ergibt sich die Bevölkerung durch die Anzahl der Gesichter.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
statistische Daten
Die statistischen Daten sind a Element, das der Gesamtbevölkerung gehört, müssen diese Daten natürlich mit dem Forschungsthema in Verbindung stehen.
Population |
statistische Daten |
sechsseitige Würfel |
4 |
Brasilianische Mountainbike-Meister |
Henrique Avancini |
Stichprobe
Wir nennen die Probe die Teilmenge gebildet basierend auf statistischem Universum. Eine Stichprobe wird verwendet, wenn die Grundgesamtheit sehr groß oder unendlich ist. In Fällen, in denen die Erfassung aller Informationen aus dem statistischen Universum aus finanziellen oder logistischen Gründen nicht möglich ist, müssen auch Stichproben verwendet werden.
Die Auswahl einer Stichprobe ist für eine Umfrage von enormer Bedeutung und muss die Bevölkerung zuverlässig repräsentieren. Ein klassisches Beispiel für die Verwendung von Stichproben in einer Umfrage ist die Durchführung der demografische Volkszählung Von unserem Land.
Variable
In der Statistik ist die Variable das Untersuchungsobjekt, d.h. das Thema, das die Forschung untersuchen will. Wenn man beispielsweise die Merkmale einer Stadt untersucht, kann die Einwohnerzahl eine Variable sein, sowie die Regenmenge in einem bestimmten Zeitraum oder sogar die Anzahl der Busse für den Transport Öffentlichkeit. Beachten Sie, dass das Konzept der Variablen in der Statistik vom Forschungskontext abhängt.
Die Organisation von Daten in Statistiken erfolgt in Phasen, wie in jedem Organisationsprozess. Zunächst wird das zu erforschende Thema gewählt, dann wird die Methode zur Erhebung der Forschungsdaten durchdacht und im dritten Schritt wird die Erhebung durchgeführt. Nach Abschluss dieses letzten Schrittes wird die Analyse des Gesammelten durchgeführt und somit basierend auf der Interpretation nach Ergebnissen gesucht. Wir werden nun einige wichtige und notwendige Konzepte für die Datenorganisation sehen.
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Rolle
In Fällen, in denen die Daten durch Zahlen dargestellt werden können, d. h. wenn die Variable quantitativ ist, wird die Liste für Organisation dieser Daten. Eine Liste kann aufsteigend oder absteigend sein. Wenn eine Variable nicht quantitativ, dh qualitativ, ist, kann die Liste nicht verwendet werden, z. B. wenn die Daten Gefühle zu einem bestimmten Produkt sind.
Beispiel
In einem Klassenzimmer wurden die Körpergrößen der Schüler in Metern erfasst. Sie sind: 1,70; 1,60; 1,65; 1,78; 1,71; 1,73; 1,72; 1,64.
Da die Liste aufsteigend oder absteigend organisiert werden kann, folgt daraus:
Rolle: (1,60; 1,64; 1,65; 1,70; 1,71; 1,72; 1,73; 1,78}
Beachten Sie, dass es bei bereits montierter Rolle möglich ist, Daten leichter zu finden.
Häufigkeitsverteilungstabelle
In Fällen, in denen die Liste viele Elemente und viele Wiederholungen von Daten enthält, wird die Liste obsolet, da die Organisation dieser Daten nicht praktikabel ist. In diesen Fällen sind die Tabellen und die Häufigkeitsverteilung sie dienen als hervorragendes Organisationsinstrument.
In der Verteilungstabelle von absolute Häufigkeit, wir müssen die Häufigkeit angeben, mit der die einzelnen Daten auftreten, dh die Häufigkeit, mit der sie angezeigt werden.
Erstellen wir die Verteilungstabelle für absolute Häufigkeit das Alter der Schüler in einer bestimmten Klasse in Jahren.
Absolute Häufigkeitsverteilung | |
Alter |
Frequenz (F) |
8 |
2 |
9 |
12 |
10 |
12 |
11 |
14 |
12 |
1 |
Gesamt (FT) |
41 |
Aus der Tabelle können wir folgende Informationen entnehmen: In der Klasse haben wir 2 Schüler im Alter von 8, 12 Jahren 9-jährige Schüler und 12 weitere 10-jährige Schüler usw. und erreichen insgesamt 41 Studenten. In der Verteilungstabelle von akkumulierte Frequenzen, müssen wir die Häufigkeit aus der vorherigen Zeile (in der Tabelle der absoluten Häufigkeitsverteilung) hinzufügen.
Lassen Sie uns die kumulative Häufigkeitsverteilungstabelle für Altersgruppen derselben Klasse wie im vorherigen Beispiel erstellen, siehe:
Kumulierte Häufigkeitsverteilung | |
Alter |
Frequenz (F) |
8 |
2 |
9 |
14 |
10 |
26 |
11 |
40 |
12 |
41 |
Gesamt (FT) |
41 |
In der Tabelle von Verteilung der relativen Häufigkeiten, der Prozentsatz, in dem die einzelnen Daten erscheinen, wird verwendet. Auch hier werden wir die Berechnungen basierend auf der Tabelle der absoluten Häufigkeitsverteilung durchführen. Wir wissen, dass 41 100 % der Schüler in der Klasse entspricht, um die Prozentsatz von jedem Alter teilen wir einfach die Altershäufigkeit durch 41 und multiplizieren das Ergebnis mit 100, damit wir es in Prozent schreiben können.
2: 41 = 0,048 · 100 → 4,8%
12: 41 = 0,292 · 100 → 29,2%
12: 41 = 0,292 · 100 → 29,2%
14: 41 = 0,341 · 100 → 34,1%
1: 41 = 0,024 · 100 → 2,4%
Relative Häufigkeitsverteilung | |
Alter |
Frequenz (F) |
8 |
4,8% |
9 |
29,2% |
10 |
29,2% |
11 |
34,1% |
12 |
2,4% |
Gesamt (FT) |
100% |
Lesen Sie auch:Anwendung von undStatistiken: fFrequenz Dasabsolut und frelative Frequenz
Klassen
In Fällen, in denen die Variable stetig ist, d. h. wenn sie mehrere Werte hat, müssen sie in them gruppiert werden echte Intervalle. In der Statistik werden diese Intervalle als Klassen bezeichnet..
Um die Tabelle von zu bauen Häufigkeitsverteilung in Klassen, wir müssen die Intervalle in die linke Spalte mit ihrem richtigen Titel einfügen und in die rechte Spalte müssen wir Geben Sie die absolute Häufigkeit jedes der Intervalle an, d. h. wie viele Elemente zu jedem gehören ihr.
Beispiel
Höhe der Schüler im 3. Jahr des Gymnasiums an einer Schule.
Häufigkeitsverteilung in Klassen | |
Höhe (Meter) |
Absolute Frequenz (F) |
[1,40; 1,50[ |
1 |
[1,50; 1,60[ |
4 |
[1,60; 1,70[ |
8 |
[1,70; 1,80[ |
2 |
[1,80; 1,90[ |
1 |
Gesamt (FT) |
16 |
Wenn wir die Häufigkeitsverteilungstabelle in den Klassen analysieren, können wir sehen, dass wir in der dritten Klasse 1 Schüler haben die eine Körpergröße zwischen 1,40 m und 1,50 m hat, genauso wie wir 4 Schüler mit einer Körpergröße zwischen 1,50 und 1,60 m haben, und so nacheinander. Wir können auch beobachten, dass Schüler Körpergrößen zwischen 1,40 m und 1,90 m haben, die Differenz zwischen diesen Messungen, also zwischen der höchsten und der niedrigsten Höhe der Probe, heißt Amplitude.
Die Differenz zwischen Ober- und Untergrenze einer Klasse wird als bezeichnet Klassenbreite, also die zweite, die 4 Schüler mit einer Körpergröße zwischen 1,50 Metern (inklusive) und 1,60 Metern (nicht enthalten) hat, hat eine Reichweite von:
1,60 – 1,50
0,10 Meter
Auch sehen: Dispersionsmaße: Amplitude und Abweichung
Positionsmessungen
Positionsmaße werden in Fällen verwendet, in denen es möglich ist, eine numerische Rolle mit den Daten oder einer Häufigkeitstabelle aufzubauen. Diese Messungen geben die Position der Elemente in Bezug auf den Dienstplan an. Die drei wichtigsten Positionsmaße sind:
Durchschnittlich
Betrachten Sie die Liste mit den Elementen (a1, ein2, ein3, ein4, …, DasNein) ist das arithmetische Mittel dieser n Elemente gegeben durch:
Beispiel
In einer Tanzgruppe wurde das Alter der Mitglieder gesammelt und in der folgenden Liste dargestellt:
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
Lassen Sie uns das Durchschnittsalter der Mitglieder dieser Tanzgruppe bestimmen.
Gemäß der Formel müssen wir alle Elemente addieren und dieses Ergebnis durch die Anzahl der Elemente in der Liste teilen, wie folgt:
Daher liegt das Durchschnittsalter der Mitglieder bei 22 Jahren.
Um mehr über dieses Positionsmaß zu erfahren, lesen Sie unseren Text: MéMorgen.
Median
Der Median wird durch das zentrale Element einer Liste mit einer ungeraden Anzahl von Elementen angegeben. Wenn die Liste eine gerade Anzahl von Elementen hat, müssen wir die beiden zentralen Elemente betrachten und das arithmetische Mittel zwischen ihnen berechnen.
Beispiel
Betrachten Sie die folgende Liste.
(2, 2, 3, 3,4, 5, 6, 7, 9)
Beachten Sie, dass Element 4 die Rolle in zwei gleiche Teile teilt, also das zentrale Element ist.
Beispiel
Berechnen Sie das Durchschnittsalter der Tanzgruppe.
Denken Sie daran, dass die Altersliste für diese Tanzgruppe gegeben ist von:
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
Beachten Sie, dass die Anzahl der Elemente in dieser Liste 10 beträgt, daher ist es nicht möglich, die Liste in zwei gleiche Teile aufzuteilen. Wir müssen also zwei zentrale Elemente nehmen und das arithmetische Mittel dieser Werte bilden.
Weitere Details zu diesem Positionsmaß finden Sie in unserem Text: Median.
Mode
Wir nennen Mode das Element der Rolle, das die höchste Frequenz hat, dh das Element, das am häufigsten in ihr vorkommt.
Beispiel
Lassen Sie uns die Mode der Altersrolle der Tanzgruppe bestimmen.
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
Das Element, das am häufigsten vorkommt, ist 21, der Modus ist also gleich 21.
Ausbreitungsmaßnahmen
Ausbreitungsmaßnahmen sind verwendet in Fällen, in denen der Durchschnitt nicht mehr ausreicht. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass zwei Autos durchschnittlich 40.000 Kilometer zurückgelegt haben. Nur mit Kenntnis der Durchschnittswerte können wir sagen, dass die beiden Autos jeweils bestimmbare Kilometer gelaufen sind, oder?
Stellen Sie sich jedoch vor, eines der Autos hat 79.000 Kilometer zurückgelegt und das andere 1.000 1, Kilometer, beachten Sie, dass nur mit Angaben zum Durchschnitt keine Aussagen möglich sind mit Präzision.
Beim Ausbreitungsmaßnahmen wird uns sagen, wie weit die Elemente einer numerischen Liste vom arithmetischen Mittel entfernt sind. Wir haben zwei wichtige Streuungsmaße:
Abweichung (σ2)
Nennen wir das arithmetische Mittel der Quadrate der Differenz zwischen jedem Element in der Rolle und das arithmetische Mittel dieser Rolle als Varianz. Die Varianz wird dargestellt durch: σ2.
Betrachten Sie die Liste (x1, x2, x3, …, xNein) und dass es ein arithmetisches Mittel hatx. Die Varianz ergibt sich aus:
Standardabweichung (σ)
Die Standardabweichung ergibt sich aus der Wurzel der Varianz, sie sagt uns, wie stark ein Element im Verhältnis zum Mittelwert gestreut ist. Die Standardabweichung wird mit bezeichnet.
Beispiel
Bestimmen Sie die Standardabweichung des Datensatzes (4, 7, 10). Beachten Sie, dass dazu zuerst die Varianz bestimmt werden muss und dass dazu zuerst der Durchschnitt dieser Daten berechnet werden muss.
Wenn wir diese Daten in der Abweichungsformel ersetzen, haben wir:
Um die Standardabweichung zu bestimmen, müssen wir die Wurzel der Varianz ziehen.
Weiterlesen: Ausbreitungsmaße: Varianz und Standardabweichung
Wozu dient Statistik?
Wir haben gesehen, dass die Statistik mit zusammenhängt Zähl- oder Datenorganisationsprobleme. Darüber hinaus spielt es eine wichtige Rolle bei der Entwicklung von Werkzeugen, die den Datenorganisationsprozess, beispielsweise in Tabellen, ermöglichen. Statistiken sind auch in. vorhanden verschiedene Wissenschaftsbereiche, basierend auf der Datenerhebung und -aufbereitung, ist es möglich, mit mathematischen Modellen zu arbeiten, die eine Weiterentwicklung im untersuchten Bereich ermöglichen. Einige Bereiche, in denen Statistik von grundlegender Bedeutung ist: Wirtschaft, Meteorologie, Marketing, Sport, Soziologie und Geowissenschaften.
In der Meteorologie zum Beispiel werden Daten in einem bestimmten Zeitraum gesammelt, nach ihrer Organisation behandelt und so mit Auf deren Grundlage wird ein mathematisches Modell erstellt, das es uns ermöglicht, das Klima der vergangenen Tage mit einem höheren Grad an Verlässlichkeit. Statistik ist ein Wissenschaftszweig, der es uns erlaubt, Aussagen mit einer gewissen Verlässlichkeit, aber nie mit 100%iger Sicherheit zu treffen.
Statistische Divisionen
Statistik gliedert sich in zwei Teile, beschreibend und inferentiell. Die erste bezieht sich auf das Zählen der an der Forschung beteiligten Elemente, diese Elemente werden einzeln gezählt. Beim Beschreibende Statistik, Unsere Hauptinstrumente sind Positionsmessungen wie Mittelwert, Median und Modus sowie Streuungsmaße wie Varianz und Standardabweichung, wir haben auch Häufigkeitstabellen und Grafik.
Auch in der deskriptiven Statistik haben wir eine sehr gut definierte Methodik für a Darstellung von Daten mit hoher Zuverlässigkeit die durch Organisation und Sammlung, Zusammenfassung, Interpretation und Darstellung und schließlich Datenanalyse geht. Ein klassisches Beispiel für die Verwendung deskriptiver Statistiken ist die Volkszählung (alle 10 Jahre) des Brasilianischen Instituts für Geographie und Statistik (IBGE).
DAS Inferenzstatistik, Es zeichnet sich wiederum dadurch aus, dass nicht nacheinander Daten von den Elementen einer Population gesammelt werden, sondern durch die Durchführung der Analyse einer Stichprobe dieser Population, Schlussfolgerungen ziehen über sie. Bei der Inferenzstatistik ist bei der Auswahl der Stichprobe Vorsicht geboten, da diese die Grundgesamtheit sehr gut abbilden muss. Einige erste Ergebnisse, wie die Mittelwertbildung, in der inferenziellen Statistik, die Hoffnung genannt wird, werden basierend auf der Kenntnis der deskriptiven Statistik abgeleitet.
Inferenzstatistiken werden beispielsweise bei Wahlumfragen verwendet. Eine repräsentative Stichprobe der Bevölkerung wird ausgewählt und damit die Forschung durchgeführt. Bei der Auswahl einer Stichprobe, die diese Population nicht sehr gut repräsentiert, sagen wir, dass die Forschung voreingenommen und daher unzuverlässig.
gelöste Übungen
Frage 1 – (U. F. Juiz de Fora – MG) Ein Physiklehrer hat bei seinen 22 Schülern einen Test mit 100 Punkten durchgeführt und als Ergebnis die Notenverteilung erhalten, die in der folgenden Tabelle zu sehen ist:
40 |
20 |
10 |
20 |
70 |
60 |
90 |
80 |
30 |
50 |
50 |
70 |
50 |
20 |
50 |
50 |
10 |
40 |
30 |
20 |
60 |
60 |
– |
– |
Führen Sie die folgenden Datenbehandlungen durch:
a) Schreiben Sie eine Liste dieser Notizen.
b) Bestimmen Sie die relative Frequenz der höchsten Note.
Auflösung
a) Um die Liste dieser Notizen zu erstellen, müssen wir sie aufsteigend oder absteigend schreiben. Also müssen wir:
10, 10, 20, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 40, 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 80, 90
b) Wenn wir die Rolle betrachten, können wir sehen, dass die höchste Note gleich 90 war und dass ihre absolute Frequenz gleich 1 ist, da sie nur einmal vorkommt. Um die relative Frequenz zu bestimmen, müssen wir die absolute Frequenz dieser Note durch die Gesamtfrequenz dividieren, in diesem Fall gleich 22. So:
relative Frequenz
Um diese Zahl als Prozentsatz zu übergeben, müssen wir sie mit 100 multiplizieren.
0,045 · 100
4,5%
Frage 2 – (Gegner) Nach dem Würfeln eines Würfels mit Seitenzahlen von 1 bis 6, 10 Mal hintereinander, und notieren Sie die in jedem Zug erhaltene Zahl, die folgende Verteilungstabelle Frequenzen.
Anzahl erhalten |
Frequenz |
1 |
4 |
2 |
1 |
4 |
2 |
5 |
2 |
6 |
1 |
Mittelwert, Median und Modus dieser Häufigkeitsverteilung sind:
a) 3, 2 und 1
b) 3, 3 und 1
c) 3, 4 und 2
d) 5, 4 und 2
e) 6, 2 und 4
Auflösung
Alternative B.
Um den Mittelwert zu bestimmen, beachten Sie, dass sich die erhaltenen Zahlen wiederholen, daher verwenden wir das gewichtete arithmetische Mittel.
Um den Median zu bestimmen, müssen wir die Liste auf- oder absteigend anordnen. Denken Sie daran, dass die Häufigkeit die Häufigkeit ist, mit der das Gesicht angezeigt wird.
1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6
Da die Anzahl der Elemente in der Liste gerade ist, müssen wir das arithmetische Mittel der zentralen Elemente berechnen, die die Liste in zwei Hälften teilen, um den Median wie folgt zu bestimmen:
Der Modus wird durch das Element angegeben, das am häufigsten vorkommt, dh es hat die höchste Frequenz, also ist der Modus gleich 1.
Somit sind der Mittelwert, der Median bzw. der Modus gleich:
3, 3 und 1
von Robson Luis
Mathematiklehrer
In einer Gruppe von Personen sind die Altersgruppen: 10, 12, 15 und 17 Jahre alt. Wenn ein 16-Jähriger der Gruppe beitritt, was passiert mit dem Durchschnittsalter der Gruppe?
Berechnen Sie das durchschnittliche Gehalt für dieses Unternehmen.
