Bei einem Kreis mit Mittelpunkt O, Radius r und zwei zum Kreis gehörenden Punkten A und B ist der Abstand zwischen den markierten Punkten ein Kreisbogen. Die Länge eines Bogens ist proportional zum Maß des Zentriwinkels, je größer der Winkel, desto länger die Bogenlänge; und je kleiner der Winkel, desto kürzer die Bogenlänge.
Um die Länge eines Kreises zu bestimmen, verwenden wir den folgenden mathematischen Ausdruck: C = 2*π*r. Die vollständige Drehung in einem Kreis wird durch 360º dargestellt. Vergleichen wir die Umfangslänge im linearen Maß (ℓ) und im Winkelmaß (α), beachten Sie:
linear |
eckig |
2*π*r |
360º |
ℓ |
α |
Dieser Ausdruck kann verwendet werden, um die Bogenlänge eines Kreises mit Radius r und Mittelpunktswinkel α in Grad zu bestimmen. Verwenden Sie in diesen Fällen π = 3,14.
Wenn der Zentriwinkel im Bogenmaß angegeben wird, verwenden wir den folgenden Ausdruck: = α * r.
Beispiel 1
Bestimmen Sie die Länge eines Bogens mit einem Mittelpunktswinkel von 30°, der in einem Umfang von 2 cm Radius enthalten ist.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
= 1,05 cm
Die Länge des Bogens beträgt 1,05 Zentimeter.
Beispiel 2
Der Minutenzeiger einer Wanduhr misst 10 cm. Wie viel Platz wird die Hand nach 30 Minuten zurücklegen?
Siehe das Bild der Uhr:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
= 31,4 cm
Der vom Minutenzeiger abgedeckte Raum beträgt 31,4 Zentimeter.
Beispiel 3
Bestimmen Sie die Länge eines Bogens mit einem Mittelpunktswinkel von π/3, der in einem Umfang von 5 cm Radius enthalten ist.
= α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
= 5,23 cm
Beispiel 4
Ein 15 cm langes Pendel schwingt zwischen A und B in einem Winkel von 15°. Wie lang ist die Trajektorie, die durch ihre Extremität zwischen A und B beschrieben wird?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
= 3,9 cm
Die Länge der Flugbahn zwischen A und B beträgt 3,9 Zentimeter.
von Mark Noah
Abschluss in Mathematik
Brasilianisches Schulteam
Trigonometrie - Mathematik - Brasilien Schule
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm