DAS Dimensionsanalyse ist ein Werkzeug, das die Vorhersage, Überprüfung und Anpassung der physikalischen Einheiten ermöglicht, die zur Lösung von Gleichungen verwendet werden. In der Dimensionsanalyse wenden wir die Grundlagen von Algebra um festzustellen, in welcher Einheitimmessen Es muss eine bestimmte Menge angegeben werden, um die Homogenität zwischen den Mengen zu gewährleisten.
Schritt-für-Schritt-Dimensionsanalyse
Mithilfe der Dimensionsanalyse ist es möglich, vorherzusagen, welche Maßeinheit eine physikalische Größe haben wird, die sich auf. bezieht Auflösung eines Problems. Daher ist es notwendig, dass wir zumindest die EinheitenGrundlagen der Physik, gelistet in der Internationales Einheitensystem (SI).
Aus den fundamentalen Größen wie Meter, Kilogramm, Sekunde und anderen können wir alle anderen abgeleiteten Größen schreiben. Die folgende Tabelle zeigt einige der wichtigsten SI-Einheiten – es ist wichtig, sie zu kennen, sieh sie dir an:
Ehrgeizig |
Einheit (Symbol - Name) |
Länge |
m - Meter |
Zeit |
s - Sekunde |
Pasta |
kg - Kilogramm |
Temperatur |
K - Kelvin |
Elektrischer Strom |
A - Ampere |
Dimensionsanalyse von Formeln
Lassen Sie uns lernen, wie man die Dimensionsanalyse von a. durchführt einfache Formel, wie die Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird als Verhältnis von Verschiebung (ΔS) zu Zeitintervall (Δt) berechnet.
Wenn man die Grundeinheiten des SI kennt, kann man erkennen, dass die Verschiebung in Metern (m) gemessen werden muss, während das Zeitintervall in Sekunden (s) gemessen werden muss. Daher muss die Geschwindigkeitsmesseinheit in Meter pro Sekunde (m/s) angegeben werden, siehe folgende Abbildung:
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Beachten Sie bei der zuvor durchgeführten Dimensionsanalyse, dass es notwendig war, die Entfernung und Zeiteinheiten, so dass wir vorhersagen können, was die Einheit der Geschwindigkeit sein sollte. Da die Formel außerdem anzeigte, dass die Größen von Entfernung und Zeit durcheinander geteilt wurden, wurden auch ihre Einheiten geteilt.
Einige Formeln oder Mengen können etwas mehr sein mühsam Um ihre Einheiten zu bestimmen, sehen Sie sich ein Beispiel an, in dem wir zusätzlich zu den Einheiten die Formeln kennen müssen, mit denen wir die damit verbundenen Größen berechnen können. Siehe unten das Beispiel der Druckformel, in der wir die Einheit von P bestimmen wollen:
Um die Einheit zu finden, in der die Druck muss geschrieben werden, laut SI, zuerst war es notwendig, dass wir Ihre kennen Formel. Danach müssten wir wissen, in welcher Einheit die Größe Stärke ausgedrückt wird und falls wir es nicht wussten, wäre es notwendig, seine Formel (F=ma) zu kennen, um seine Einheit zu finden.
Danach war zu beachten, dass Flächen in m² gemessen werden. Mit diesen Einheiten kehren wir zur Formel zurück und wir ersetzen jede größe mit ihren jeweiligen Einheiten und wir wenden die Regeln der Algebra an: Wir dividieren und multiplizieren zwischen den Einheiten, um sie so weit wie möglich zu vereinfachen.
Ein wichtiger Gedanke bei der Dimensionsanalyse ist, dass einige Einheiten in Reihe geschrieben werden können, was in bestimmten Übungen üblich ist, da die Notation kompakter wird. Betrachten Sie das folgende Beispiel, darin zeigen wir die Dimensionsanalyse der Beschleunigungsgröße:
Durchführen der Dimensionsanalyse der Beschleunigung, finden wir, dass seine Einheit Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²) ist, diese Einheit kann jedoch kompakt als einfach geschrieben werden Frau-2.
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Es besteht auch die Möglichkeit, dass eine weitere physikalische Größe bestimmt werden muss. Komplex, wie in dem Beispiel, das wir unten zeigen werden. Darin bestimmen wir die Maßeinheit der Größe namens spezifische Wärme, weit verbreitet in Kalorimetrieberechnungen, siehe:
In der vorgestellten Dimensionsanalyse war es notwendig, die Gleichung neu zu ordnen, um den Ausdruck für die spezifische Wärme ([c]) zu finden. Sobald das erledigt ist, Wir ändern ständig die Einheiten jeder physikalischen Größe bis wir zwei verschiedene Antworten finden: in Blau die Einheit der spezifischen Wärme für den SI und in Rot die übliche Einheit der spezifischen Wärme.
Es ist möglich, dass auch die Maßeinheit einiger ehrgeizigfiktiv. In diesem Fall erarbeiten wir ein Beispiel für eine Größe Y, die durch das Produkt einer Länge ([L]), einer Fläche ([A]) und eines Zeitintervalls ([t]) dividiert durch eine Masse ( [m]).
Um die Maßeinheit dieser Größe gemäß dem SI zu bestimmen, muss man sich daran erinnern, dass die Längeneinheit die Meter (m), dass die Flächeneinheit der Quadratmeter (m²), die Zeiteinheit die Sekunde (s) und die Masseneinheit das Kilogramm ist (kg). Die Methode zur Ermittlung der Einheit von Y heißt Homogenitätsprinzip, dh die linke Seite der Gleichung muss dieselbe Einheit haben wie die rechte Seite.
Konvertieren von Einheiten mithilfe der Dimensionsanalyse
Mit Dimensionsanalyse und Korrespondenz zwischen verschiedenen Messsystemen, ist es möglich, abgeleitete Größen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft etc. Abgeleitete Größen bestehen aus zwei oder mehr fundamentalen physikalischen Größen, und manchmal ist es notwendig, sie in andere Einheiten umzuwandeln. Das häufigste Beispiel für diese Anwendung der Dimensionsanalyse ist die Transformation der gemessenen Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde in Kilometer pro Stunde und umgekehrt.
Der Schlüssel zur korrekten Durchführung dieser Einheitenumrechnung besteht immer darin, die Einheit auf bequeme Weise mit 1 zu multiplizieren: Ändern der Maßeinheit, ohne ihren „Wert“ zu ändern. Auch wenn ein anderes Maß für die umzurechnende Menge gefunden wurde, wurde der Maßstab beibehalten. Sehen Sie sich ein Beispiel an:
In der vorgestellten Umrechnung müssen wir feststellen, dass 1 km 1000 m und 1 h 3600 s entspricht. Danach multiplizieren wir den Geschwindigkeitswert, der in Kilometern pro Stunde gemessen wurde, mit 1, also 1000 m geteilt durch 1 km und 1 h geteilt durch 3600 s. Auf diese Weise war es möglich, die Einheit zu ändern und herauszufinden, wie das Modul dieser Geschwindigkeit in der Einheit Meter pro Sekunde sein würde.
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Dimensionsanalyse in Enem
Es gibt mehrere Enem-Probleme, bei denen es notwendig ist, die Dimensionsanalyse für die UmwandlungimEinheiten korrekt. Die Fragen von Enem werden dies jedoch die meiste Zeit nicht explizit machen. Es wird notwendig sein zu erkennen, dass die Einheiten inkonsistent, dh inhomogen sind.
Sehen Sie sich einige Beispiele für Enem-Übungen an, die eine Dimensionsanalyse beinhalten:
Frage 1) Die Karte auf der Seite stellt eine Nachbarschaft in einer bestimmten Stadt dar, in der die Pfeile die Richtung des Verkehrs anzeigen. Es ist bekannt, dass dieses Viertel geplant wurde und dass jeder in der Abbildung dargestellte Block ein quadratisches Grundstück mit einer Seitenlänge von 200 Metern ist. Abgesehen von der Breite der Straßen, wie lange in Minuten würde ein Bus mit konstanter Geschwindigkeit von 40 km/h von Punkt X bis zum Punkt Y benötigen?
a) 25 Minuten
b) 15 Minuten
c) 2,5 Minuten
d) 1,5 Minuten
e) 0,15 Minuten
Um diese Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Durchschnittsgeschwindigkeitsformel. Laut Aussage beträgt die Geschwindigkeit des Busses 40 km/h und wir wollen die entdecken Zeit notwendig, in Protokoll, so dass es den Punkt X verlässt und den Punkt Y erreicht, wobei die Richtungen jedes Weges berücksichtigt werden. Dazu muss die vom Bus zurückgelegte Strecke ermittelt werden.
Wenn wir die Richtung der Pfeile analysieren, stellen wir fest, dass der Bus nach Süden fahren muss, einen Block, dann muss er Gehen Sie nach Westen, gehen Sie einen Block, gehen Sie dann zwei weitere Blöcke nach Norden und dann einen Block zum Westen. Da jeder Block 200 m lang ist, wird der Bus am Ende der Strecke insgesamt 1000 m zurückgelegt haben. Machen wir die Rechnung:
Um die Aufgabe zu lösen, wandeln wir zunächst die Busgeschwindigkeit in Kilometer pro Minute um. Wir haben dann seine Verschiebung in Kilometern ermittelt, indem wir eine Dimensionsanalyse verwendet und die Größen verglichen haben. Schließlich wenden wir die in der Durchschnittsgeschwindigkeitsformel gefundenen Werte an.
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Frage 2) Obwohl der Body-Mass-Index (BMI) weit verbreitet ist, gibt es noch zahlreiche theoretische Einschränkungen bei seiner Verwendung und den empfohlenen Normalbereichen. Der Reziproke Gewichtsindex (RIP) hat nach dem allometrischen Modell eine bessere Grundlage Mathematik, da Masse eine Variable der kubischen Dimensionen und die Höhe eine Dimensionsvariable ist linear. Die Formeln, die diese Indizes bestimmen, sind:
Wenn ein Mädchen mit 64 kg Masse einen BMI von 25 kg/m² hat2, hat also einen RIP gleich:
a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3
Um mit der Lösung dieser Übung zu beginnen, müssen wir die Dimensionsanalyse der beiden Größen BMI und RIP durchführen:
Da wir den BMI und die Masse des Mädchens kennen, ist es einfach, ihre Größe zu bestimmen. Danach wenden wir diese Werte einfach in die RIP-Formel an und wandeln die Körpergröße des Mädchens in Zentimeter um, um sie zu berechnen.
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gelöste Übungen
Frage 1) Bestimmen Sie die Dimension der physikalischen Größe X, definiert durch die unten aufgeführten Dimensionen, nach dem Internationalen Einheitensystem:
a) m-²s¹kg-²
b) m²s¹kg-²
c) m²s¹kg-3
d) m²s-kg-²
e) m²s¹kg-1
Vorlage: Buchstabe b
Auflösung:
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir uns daran erinnern, dass L die in Metern definierte Größe Länge bezeichnet, T is zur Bezeichnung der Zeitgröße, gemessen in Sekunden, und M zur Bezeichnung der Massengröße, gemessen in Kilogramm. Auf diese Weise genügt es, diese Größen in ihren jeweiligen Dimensionen zu ersetzen:
Wenn wir diese Einheit in einer Zeile schreiben, erhalten wir das folgende Ergebnis: m².s¹.kg-2.
Frage 2) Bestimmen Sie die Einheit der elektrostatischen Konstanten k0, nach dem Coulombschen Gesetz:
Wo Q und q in C – Coulomb gemessen werden, ist d die Distanz gemessen in m – Meter und F ist die elektrische Kraft, gemessen in N – Newton. Um also die Einheit von k. zu finden0, müssen wir die folgende Dimensionsanalyse durchführen:
Daher ist nach der durchgeführten Dimensionsanalyse die Maßeinheit der Konstanten k0 Nm2.Ç-2.
Von mir. Rafael Helerbrock
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/analise-dimensional.htm
