Bei Operationen zwischen Matrizen wissen wir, dass die Matrixmultiplikation ein langer und mühsamer Prozess ist. Somit kennen wir heute einen Satz, der es vermeidet, die Produkt-Matrix zu finden, um ihre Determinante zu berechnen, und in dem die Determinante jeder Matrix separat verwendet werden kann.
Dazu werden wir den Satz von Binet formulieren und sehen, wie er bei der Berechnung von Determinanten angewendet wird.
„Sei A und B zwei quadratische Matrizen gleicher Ordnung und AB die Produktmatrix, also gilt det (AB)=(det A).(det B).“
Das heißt, anstatt das Matrixprodukt zu finden und dann seine Determinante zu berechnen, ist es möglich, die Determinante jeder Matrix zu berechnen und sie zu multiplizieren.
Schauen wir uns ein Beispiel an, um zu verstehen, wie schwer die Arbeit wäre, wenn es den Satz von Binet nicht gäbe.
Beispiel 1:
Wenn wir den Satz von Binet nicht hätten, müssten wir den folgenden Prozess durchführen, um det (A.B) zu berechnen.
1. Finden Sie die Produkt-Matrix (A.B).
2. Berechnen Sie die Determinante des Matrixprodukts.
Wenn Sie keinen Taschenrechner hätten, um diese Multiplikationen mit großen Zahlen durchzuführen, wäre es schwierig, nicht wahr?
Siehe die Berechnung derselben Determinante, jedoch mit dem Satz von Binet.
Lassen Sie uns zunächst die Determinante jeder Matrix separat finden:
Wie wir gesehen haben, gilt nach dem Satz von Binet det(AB)=(det A).(det B):
Beispiel 2:
Wir werden die Berechnungen erneut mit den beiden Verfahren durchführen:
Es ist wirklich ein viel einfacheres und praktischeres Verfahren im Vergleich zum vorherigen, schließlich spart es die Arbeit, das Matrixprodukt zu finden, was ein langer und mühsamer Prozess ist. Außerdem hat die Matrix-Produkt-Determinante meistens ein Produkt großer Zahlen, was eine mühsame Multiplikations- und Additionsrechnung mehrerer Zahlen mit sich bringt.
Von Gabriel Alessandro de Oliveira
Abschluss in Mathematik
Brasilianisches Schulteam
Matrix und Determinante- Mathematik - Brasilien Schule
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-binet.htm