Anordnung mit Wiederholung: was ist das, Formel, Beispiele

Wir wissen wie wiederholte Anordnung oder komplette Anordnung, alle geordneten Umgruppierungen, mit denen wir uns bilden können k Elemente einer Menge mit Nein Elemente, mit einem Element von Nein kann mehr als einmal vorkommen. DAS kombinatorische Analyse es ist der Bereich der Mathematik, der Zähltechniken entwickelt, um die Anzahl möglicher Cluster in bestimmten Situationen zu finden.

Unter diesen Gruppierungen gibt es die Anordnung mit Wiederholung, die zum Beispiel in der Erstellen von Passwörtern, Nummernschildern, zwischen anderen. Um diese Situationen zu lösen, wenden wir die Anordnungsformel mit Wiederholung als Zähltechnik an. Es gibt verschiedene Formeln zum Berechnen der sich wiederholenden Anordnung und der sich nicht wiederholenden Anordnung, daher ist es wichtig zu wissen, wie jede dieser Situationen unterschieden werden kann, um die richtige Zähltechnik anzuwenden.

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Was ist Anordnung mit Wiederholung?

Bei der Herstellung von Fahrzeugschildern gibt es eine Anordnung mit Wiederholung. [1]

In unserem täglichen Leben begegnen wir Situationen, die Sequenzen und Gruppierungen beinhalten, die in der Wählen Sie Passwörter aus sozialen Netzwerken oder einer Bank, und auch in Telefonnummern oder Situationen, in denen Warteschlangen. Wie auch immer, wir sind von Situationen umgeben, die diese Gruppierungen beinhalten.

Auf Nummernschildern, die aus drei Buchstaben und vier Ziffern bestehen, steht beispielsweise ein eindeutige Zeichenfolge nach Bundesstaat, die jedes der Autos identifiziert, in diesem Fall arbeiten wir mit Anordnungen. Wenn es möglich ist, die Elemente zu wiederholen, arbeiten wir mit dem kompletten Arrangement oder Arrangement mit Wiederholung.

Gegeben eine Menge mit Nein Elemente, die wir als Anordnung mit Wiederholung kennen alle Gruppierungen, mit denen wir bilden können k Elemente davon einstellen, wobei ein Element mehr als einmal wiederholt werden kann. Auf Kfz-Kennzeichen ist es zum Beispiel die Anzahl der möglichen Kennzeichen, die wir bilden können wobei zu berücksichtigen ist, dass sie aus drei Buchstaben und vier Ziffern bestehen und die Buchstaben und Ziffern wiederholt werden können.

Um die Anzahl der möglichen sich wiederholenden Anordnungen zu berechnen, verwenden wir eine sehr einfache Formel.

Anordnungsformel mit Wiederholung

Um den vollen Arrangementbetrag von. zu finden Nein verschiedene Elemente entnommen aus k im

Oh, In einer gegebenen Situation, die die Wiederholung eines Elements erlaubt, verwenden wir die folgende Formel:

LUFT_Nein,_k = Nein^k

AR → Anordnung mit Wiederholung
Nein → Anzahl der Elemente in der Menge
k → Anzahl der Elemente, die ausgewählt werden

Auch sehen: Einfache Kombination - zähle alle Teilmengen einer gegebenen Menge

So berechnen Sie die Anzahl der sich wiederholenden Arrangements

Um besser zu verstehen, wie die Formel für die Wiederholungsanordnung angewendet wird, sehen Sie sich das Beispiel unten an.

Beispiel 1:

Ein Bankpasswort besteht aus fünf Ziffern, die ausschließlich aus Zahlen bestehen. Wie viele Passwörter sind möglich?

Da wir wissen, dass das Passwort eine fünfstellige Zeichenfolge ist und es keine Wiederholungsbeschränkung gibt, wenden wir die Anordnungsformel mit Wiederholung an. Der Benutzer muss unter 10 Ziffern wählen, aus denen jede der fünf Ziffern dieses Passworts besteht, dh wir möchten die Anordnung mit der Wiederholung von 10 Elementen berechnen, die alle fünf genommen werden.

LUFT_10,5 = 10⁵ = 10.000

Es gibt also 10.000 Passwort-Möglichkeiten.

Beispiel 2:

Wenn Sie wissen, dass Kfz-Kennzeichen aus drei Buchstaben und vier Zahlen bestehen, wie viele Kennzeichen können Sie erstellen?

Unser Alphabet besteht aus 26 Buchstaben und es gibt 10 mögliche Zahlen, also teilen wir uns in zwei vollständige Arrays auf und finden die Anzahl der möglichen Arrays für die Buchstaben und Zahlen.

LUFT_26,3 = 26³ = 17.576
LUFT₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Die Summe der möglichen Anordnungen ist also:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Unterschied zwischen einfacher Anordnung und Wiederholungsanordnung

Die Unterscheidung der einfachen Anordnung von der Anordnung mit Wiederholung ist für die Lösung von Problemen zum Thema unerlässlich. Wichtig für die Differenzierung ist die Erkenntnis, dass es sich um eine Situation handelt, in der es Umgruppierungen gibt, deren Reihenfolge wichtig ist: einer Anordnung, und wenn diese Umgruppierungen Wiederholungen zwischen den Begriffen zulassen, handelt es sich um eine Anordnung mit Wiederholung, auch bekannt als Anordnung Komplett. Wenn die Umgruppierung keine Wiederholung zulässt, Es geht um eine einfache Anordnung.

Die Formel für die einfache Anordnung unterscheidet sich von der, die wir für die Wiederholungsanordnung verwenden.

Wir haben früher Beispiele für sich wiederholende Anordnungen gesehen, sehen Sie jetzt ein Beispiel für einfache Anordnungen

Beispiel:

Paulo möchte drei seiner 10 Schulbücher, die alle unterschiedlich sind, in sein Regal stellen, wie viele Möglichkeiten kann er diese Bücher organisieren?

Beachten Sie, dass in diesem Fall die Reihenfolge wichtig ist, es jedoch keine Wiederholungen gibt, da es sich um eine einfache Anordnung handelt. Um die Anzahl der möglichen Gruppierungen zu ermitteln, müssen wir:

Um mehr über diese andere Form der Gruppierung in der kombinatorischen Analyse zu erfahren, lesen Sie den Text: DASeinfache Anordnung.

Übungen gelöst:

Frage 1 - (Enem) Eine Bank forderte ihre Kunden auf, ein persönliches sechsstelliges Passwort zu erstellen, das nur aus Zahlen von 0 bis 9 besteht, um über das Internet auf das Girokonto zuzugreifen. Ein Spezialist für elektronische Sicherheitssysteme empfahl jedoch der Geschäftsleitung der Bank, ihre Benutzer neu zu registrieren, und forderte, jeder von ihnen, die Erstellung eines neuen sechsstelligen Passworts, das jetzt die Verwendung der 26 Buchstaben des Alphabets neben den Ziffern von 0 bis ermöglicht 9. In diesem neuen System wurde jeder Großbuchstabe als getrennt von seiner Kleinbuchstabenversion betrachtet. Darüber hinaus wurde die Verwendung anderer Arten von Zeichen verboten.

Eine Möglichkeit, eine Änderung des Passwortsystems zu bewerten, besteht darin, den Verbesserungskoeffizienten zu überprüfen, der die neue Anzahl von Passwortmöglichkeiten gegenüber der alten begründet. Der empfohlene Änderungsverbesserungskoeffizient ist:

Auflösung

Alternative A

Das alte Passwort ist ein Array mit Wiederholung, da es aus allen Zahlen bestehen kann, also ein Array von 10 Elementen, die alle sechs genommen werden.

LUFT_10,6 = 10⁶

Das neue Passwort kann aus 10 Ziffern bestehen, aber auch aus Großbuchstaben (26 Buchstaben) und Kleinbuchstaben (26 Buchstaben), also hat das Passwort für jede Ziffer insgesamt 10 + 26 + 26 = 62 Möglichkeiten. Da es sechs Ziffern gibt, berechnen wir die Anordnung mit einer Wiederholung von 62 Elementen alle sechs.

LUFT_62,6 = 62⁶

DAS Grund der neuen Anzahl von Passwortmöglichkeiten im Vergleich zur alten beträgt 62⁶/10⁶.

Frage 2 - (Enem 2017) Ein Unternehmen baut seine Website und hofft, ein Publikum von etwa einer Million Kunden anzuziehen. Um auf diese Seite zuzugreifen, benötigen Sie ein Passwort mit einem vom Unternehmen festzulegenden Format. Der Programmierer bietet fünf Formatoptionen, die in der Tabelle beschrieben sind, wobei „L“ und „D“ Großbuchstaben bzw. Ziffern darstellen.

Die Buchstaben des Alphabets unter den 26 möglichen sowie die Ziffern unter den 10 möglichen können in jeder der Optionen wiederholt werden.

Das Unternehmen möchte eine Formatoption wählen, deren Anzahl möglicher eindeutiger Passwörter größer ist als erwartete Anzahl von Kunden, diese Anzahl jedoch nicht das Doppelte der erwarteten Anzahl von Kunden.

Auflösung

Alternative E

Durch die Berechnung jeder der Möglichkeiten möchten wir das Passwort finden, das mehr als eine Million Möglichkeiten und weniger als zwei Millionen Möglichkeiten hat.

ich → LDDDDD

26 ·10⁵ größer als zwei Millionen ist, so dass die Anfrage des Unternehmens nicht erfüllt wird.

II → DDDDDD

10⁶ ist gleich einer Million, so dass es den Anforderungen des Unternehmens nicht gerecht wird.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ größer als zwei Millionen ist, so dass die Anfrage des Unternehmens nicht erfüllt wird.

IV → DDDDD

10⁵ es sind weniger als eine Million, also entspricht es nicht den Anforderungen des Unternehmens.

V → LLLDD

26³ ·10² liegt zwischen einer Million und zwei Millionen, daher ist diese Passwortvorlage ideal.

Bildnachweis

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm