Alle eksisterende tal blev skabt efter menneskelige behov på tidspunktet for skabelsen, som det er tilfældet med naturlige tal, hvilket blev oprettet for at tælle og kontrollere "bestande" og irrationelle tal, som blev oprettet for at løse problemer i forhold til rødder. Det var netop problemerne med rødder, der startede viden om komplekse tal.
Den kvadratiske ligning x2 + 4x + 5 = 0 har ingen rigtige rødder. Dette betyder, at det inden for sættet af reelle tal er umuligt at finde værdier for x, der svarer til den første sigt i denne ligning til den anden. Vi observerer dette fænomen fra begyndelsen af Bhaskaras formel:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Når en negativ værdi er fundet for Δ, bliver det umuligt at fortsætte med Bhaskaras formel, da det kræver, at √Δ (rod af delta) beregnes. Nu ved vi, at √– 4 ikke kan beregnes, fordi der ikke er noget reelt tal, der multipliceret med sig selv ville resultere i - 4.
Komplekse numre blev oprettet for at imødekomme disse behov. Fra dets oprettelse kan √– 4 udvikles som følger:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) forstås som en ny type nummer. Sættet med alle disse tal er kendt som sættet med komplekse tal, og hver repræsentant for dette nye sæt defineres som følger: Lad A være et komplekst tal, derefter,
A = Det + Bjeg, hvor Detog B er reelle tal og i = √ (- 1)
I denne definition Det Det er kendt som rigtig del af A og B Det er kendt som imaginær del af A.
Egenskaber for komplekse tal
Reelle tal repræsenterer i deres helhed og geometrisk en linje. Komplekse tal repræsenterer igen et helt plan. Det kartesiske plan, der bruges til at repræsentere de komplekse tal, er kendt som Argand-Gauss-planet.
Hvert komplekst tal kan repræsenteres på Argand-Gauss-planet som et koordinatpunkt (a, b). Afstanden fra det punkt, der repræsenterer et komplekst tal til punktet (0,0) kaldes komplekset for modulet., som er defineret:
Lad A = a + bi være et komplekst tal, dets modul er | A | = a2 + b2
Komplekse tal har også et omvendt element, kaldet et konjugat. Det er defineret som:
Lad A = a + bi være et komplekst tal,
Ā = a - bi er konjugatet af dette tal.
Ejendom 1: Produktet af et komplekst tal og dets konjugat er lig med summen af firkanterne for den reelle del og den imaginære del af det komplekse tal. Matematisk:
AĀ = a2 + b2
Eksempel: Hvad er produktet af A = 2 + 5i med dets konjugat?
Bare gør beregningen: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Hvis vi valgte at skrive konjugatet af A og derefter udføre multiplikationen AĀ, ville vi have:
AĀ = (2 + 5i) (2-5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Det vil sige ved hjælp af den foreslåede egenskab er det muligt at undgå en lang beregning såvel som fejl under disse beregninger.
Ejendom 2: Hvis et komplekst tal A er lig med dets konjugat, er A et reelt tal.
Lad A = a + bi. Hvis A = Ā, så:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Derfor er b = 0
Derfor er det obligatorisk, at hvert komplekst tal, der svarer til dets konjugat, også er et reelt tal.
Ejendom 3: Konjugatet af summen af to komplekse tal er lig med summen af konjugaterne af disse tal., det er:
_____ _ _
A + B = A + B
Eksempel: Hvad er konjugatet af summen af 7 + 9i og 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Du kan først tilføje og derefter beregne konjugatet af resultatet eller gøre konjugaterne først og derefter tilføje resultaterne senere.
Ejendom 4: Produktets konjugat mellem to komplekse tal er lig med produktet af deres konjugater, dvs.
__ _ _
AB = A · B
Eksempel: Hvad er produktet af konjugaterne A = 7i + 10 og B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4-3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Afhængigt af behovet for øvelsen er det muligt at formere sig først og beregne konjugatet bagefter eller vise konjugaterne, før multiplikationen udføres.
Ejendom 5: Produktet af et komplekst tal A og dets konjugat er lig med kvadratet for modulet A, dvs.
AĀ = | A |2
Eksempel: A = 2 + 6i, derefter AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Bemærk, at det ikke er nødvendigt at finde konjugatet og udføre en multiplikation gennem den fordelende egenskab af multiplikation over tilsætning (kendt som lille brusehoved).
Ejendom 6: Modulet for et komplekst tal er lig med modulet for dets konjugat. Med andre ord:
| A | = | Ā |
Eksempel: Find modulet for konjugatet af kompleksnummeret A = 3 + 4i.
Bemærk, at det ikke er nødvendigt at finde konjugatet, da modulerne er de samme.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Hvis | Ā | blev beregnet, ville den eneste ændring være a B negativ kvadrat, hvilket har et positivt resultat. Således ville resultatet stadig være roden til 25.
Ejendom 7: Hvis A og B er komplekse tal, er modulproduktet af A og B lig med modulet for produktet fra A og B., dvs.
| AB | = | A || B |
Eksempel: Lad A = 6 + 8i og B = 4 + 3i, hvor meget er | AB |?
Bemærk, at det ikke er nødvendigt at multiplicere komplekse tal, før modulet beregnes. Det er muligt at beregne modulet for hvert komplekst tal separat og derefter bare multiplicere resultaterne.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm