DET algebraisk udtryk faktorisering består af at skrive et algebraisk udtryk i produktform. I praktiske tilfælde er det løsningen på nogle problemer, der involverer algebraiske udtryk, faktorisering er yderst nyttig, fordi det i de fleste situationer forenkler det bearbejdede udtryk.
For at udføre faktorisering af algebraiske udtryk bruger vi et meget vigtigt resultat i matematik kaldet grundlæggende sætning af aritmetik, som siger, at ethvert heltal større end 1 kan skrives som produktet af PrimtalSe:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Vi har lige beregnet tallene 121 og 60.
Læs også: Nedbrydning af et tal i primære faktorer
Metoder til faktorisering af algebraiske udtryk
Nu vil vi se de vigtigste faktoriseringsmetoder, de mest anvendte, vi vil lave en kort geometrisk begrundelse. Se:
Bevisfaktorisering
Overvej rektanglet:
Bemærk, at området med rektangel blå plus arealet af det grønne rektangel resulterer i det større rektangel. Lad os se på hvert af disse områder:
DETBLÅ = b · x
DETGRØN = b · y
DETSTØRRE = b · (x + y)
Så vi er nødt til at:
DETSTØRRE = ABLÅ + AGRØN
b (x + y) = bx + ved
Eksempler
Det) For at faktorere udtrykket: 12x + 24y.
Bemærk, at 12 er bevisfaktoren, da det vises i begge pakker, så det er nok at bestemme antallet, der går inden for parenteserne del hver pakke efter bevisfaktoren.
12x: 12 = x
24 år: 12 = 2y
12x + 24y = 12 · (x + 2y)
B) At faktor udtryk 21ab2 - 702B.
På samme måde bestemmes oprindeligt bevisfaktoren, det vil sige den faktor, der gentages i pakkerne. Se at fra den numeriske del har vi 7 som en fælles faktor, da det er den, der deler begge tal. Se nu, hvad angår den bogstavelige del, at kun faktoren gentages abderfor er bevisfaktoren: 7ab.
21ab2 - 702b = 7ab (3b - 10Det)
Læs også: Polynomisk division: hvordan man gør det?
Faktoring ved gruppering
Faktoriseringen ved gruppering er som følge af factoring ved bevismateriale, den eneste forskel er, at i stedet for at have et monomium som en fælles faktor eller en bevisfaktor, vil vi have en polynom, se eksemplet:
Overvej udtrykket (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Bemærk, at den fælles faktor er binomialet (a + b),derfor er den fakturerede form for det foregående udtryk:
(a + b) · (Xy + wz2)
forskel mellem to firkanter
Overvej to tal a og b, når vi har en forskel af kvadratet af disse tal, dvs.2 - B2, så vi kan skrive dem som produkt af sum for forskel, dvs.
Det2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Eksempler
Det) At faktorere udtrykket x2 - y2.
Vi kan bruge forskellen mellem to firkanter, så:
x2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) At faktor 20202 – 2.0192.
Vi kan bruge forskellen mellem to firkanter, så:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomial af det perfekte firkant
Tag den næste firkant fra siden (a + b) og noter områderne af firkanterne og rektanglerne, der er dannet inde i den.
Se området for firkant større er givet ved (a + b)2, men på den anden side kan området for den største firkant opnås ved at tilføje firkanter og rektangler inde i det, som dette:
(a + b)2 = den2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = den2+ 2b + b2
(a + b)2 = den2 + 2ab + b2
På samme måde skal vi:
(a - b)2 = den2 - 2ab + b2
Eksempel
Overvej udtrykket x2 + 12x + 36.
For at faktorere et udtryk af denne type skal du bare identificere koefficienten for variablen x og den uafhængige koefficient og sammenligne med den givne formel, se:
x2 + 12x + 36
Det2 + 2ab + b2
Ved sammenligningen skal du se, at x = a, 2b = 12 og b2 = 36; af ligestillingerne har vi, at b = 6, så det fakturerede udtryk er:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
High School Trinomial
Overvej økse trinomial2 + bx + c. Dens fakturerede form kan findes ved hjælp af dine rødder, det vil sige værdierne på x, der nulstiller dette udtryk. For at bestemme de værdier, der gør dette udtryk nul, skal du bare løse ligningsaksen2 + bx + c = 0 ved hjælp af en hvilken som helst metode, der er praktisk. Her fremhæver vi den bedst kendte metode: Bhaskara metode.
Den faktoriserede form af økse trinomial2 + bx + c er:
økse2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Eksempel
Overvej udtrykket x2 + x - 20.
Det første trin er at bestemme rødderne til x-ligningen.2 + x - 20 = 0.
Så den fakturerede form for udtrykket x2 + x - 20 er:
(x - 4) · (x + 5)
Terning af forskellen mellem to tal
Terningen af forskellen mellem to tal a og b er givet ved:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Terning af summen af to tal
På samme måde har vi det (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , snart:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (Cefet-MG) Hvor tallet n = 6842 – 6832, summen af cifrene i n er:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Løsning
Alternativ d. For at bestemme summen af cifrene i n faktoriserer vi først udtrykket, da beregning af kvadraterne og derefter fratrækning er unødvendigt arbejde. Med hensyn til udtrykket ved hjælp af forskellen mellem to firkanter har vi:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Derfor er summen af cifrene i n givet med 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Spørgsmål 2 - (Modificeret Insper-SP) Bestem udtrykets værdi:
Løsning
Lad os navngive a = 2009 og b = 2 for at gøre notationen lettere. husk at 22 = 4, så vi skal:
Bemærk, at vi i tælleren af brøken har forskellen mellem to firkanter, så vi kan skrive2 - B2 = (a + b) (a - b). Snart:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm