den trigonometriske cirkel er en cirkel med radius 1 repræsenteret i Cartesian fly. I den er den vandrette akse cosinusaksen, og den lodrette akse er sinusaksen. Det kan også kaldes en trigonometrisk cyklus.
Det bruges til at udføre undersøgelsen af trigonometriske forhold. Med det er det muligt bedre at forstå de vigtigste trigonometriske grunde til vinkler større end 180º, nemlig: sinus, cosinus og tangens.
Læs også: De 4 mest almindelige fejl i grundlæggende trigonometri
Trin for trin for at opbygge den trigonometriske cirkel
For at konstruere den trigonometriske cirkel, vi bruger to akser, en lodret og en vandret, som et kartesisk plan. Den vandrette akse er kendt som cosinus akse, og den lodrette akse er kendt som sinus akse.
Lad os tegne grafen for en cirkel, der har radius 1, med konstruktionen af akserne.
Trigonometriske forhold i cirklen
Vi bruger cirklen til at finde værdien af
sinus, cosinus og tangensi henhold til vinkelværdien. have i lodret akse sinusværdien og på den vandrette akse cosinusværdienved at bestemme en vinkel på den trigonometriske cirkel er det muligt at finde værdien af sinus og cosinus ved at analysere koordinater for det punkt, hvor linjesegmentet forbinder centrum af cirklen og omkredsen, repræsenteret af P i billedet a følge efter. Hvis vi tegner tangentlinjen til cirklen ved punktet (1.0), kan vi også beregne tangenten for denne vinkel analytisk i henhold til billedet:
Læs også: Hvad er secant, cosecant og cotangent?
Trigonometriske cirkelradianer
Vi ved, at en bue kan måles ved hjælp af to forskellige måleenheder: målingen i grader og målingen i radianer. Vi ved det omkredsen er 360º og at længden af din bue er 2π:
Kvadranter i den trigonometriske cirkel
Uanset om det er i radianer eller grader, er det muligt at definere kvadranten, hvor en given bue er placeret i henhold til dens måling.
Når vi analyserer cyklussen, skal vi:
første kvadrant: vinkler, der er mellem 0 og 90 ° eller 0 og π / 2 radianer;
anden kvadrant: vinkler, der er mellem 90 ° og 180 ° eller π / 2 og π radianer;
tredje kvadrant: vinkler, der er mellem 180 ° og 270 ° eller π og 3 π / 2 radianer;
fjerde kvadrant: vinkler, der er mellem 270 ° og 360 ° eller 3π / 2 og 2π radianer.
Læs også: Planlæg egenskaber og egenskaber
Bemærkelsesværdige vinkler i den trigonometriske cirkel
I begyndelsen af studiet af trigonometri, lærte vi, at de bemærkelsesværdige vinkler er vinklerne på 30º, 45º og 60º, som har værdien af den kendte sinus, cosinus og tangens. På grund af symmetrien i den trigonometriske cyklus, det er muligt at finde sinus- og cosinusværdierne for disse vinkler og de symmetriske vinkler til ham i hver af kvadranterne.
Trigonometriske cirkelskilte
For at forstå, hvad der er tegnet på hver af de trigonometriske forhold i cyklussen, er det nok at analysere akseværdierne i det kartesiske plan.
Lad os starte med cosinus. Da det er den vandrette akse, er cosinus af vinkler inkluderet til højre for den lodrette akse positiv, og cosinus af vinkler inkluderet til venstre for den lodrette akse er negativ.
For at forstå sinustegnet for en vinkel skal du bare huske, at den lodrette akse er sinusaksen, så sinusen for en vinkel, der er over den vandrette akse, er positiv; men hvis vinklen er under den vandrette akse, er sinus for denne vinkel negativ, som vist på følgende billede:
Vi ved det tangenten er forholdet mellem sinus og cosinusfor derefter at finde tegn på tangenten for hver af kvadranterne, spiller vi tegnspillet, hvilket gør tangenten positiv i de ulige kvadranter og negativ i de lige kvadranter:
Læs også: Hvad er semi-straight, semi-plane og semi-space?
symmetri i cirklen
Analyse af den trigonometriske cyklus, det er muligt at konstruere en måde at reducere sinus, cosinus og tangens til den første kvadrant. Denne reduktion betyder at finde i den første kvadrant en vinkel, der er symmetrisk med en vinkel på de andre kvadranter, fordi når vi arbejder med en symmetrisk vinkel, er værdien af de trigonometriske forhold den samme og ændrer kun dens signal.
Reduktion af en vinkel, der er i 2. kvadrant til 1. kvadrant
Startende med de vinkler, der er i 2. kvadrant, skal vi:
Som vi ved er sinus positiv i 1. og 2. kvadrant. Så for at beregne reduktionen af sinus fra 2. kvadrant til 1. kvadrant bruger vi formlen:
sin x = sin (180º - x)
Cosinus og tangens i 2. kvadrant er negativ. For at reducere cosinus fra 2. kvadrant til 1. kvadrant bruger vi formlen:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Eksempel:
Hvad er værdien af sinus og cosinus for en vinkel på 120 °?
120 ° vinklen er en kvadrant anden vinkel, da den er mellem 90 ° og 180 °. For at reducere denne vinkel til 1. kvadrant beregner vi:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
sin 120º = sin 60º
60 ° vinklen er en bemærkelsesværdig vinkel, så dens sinusværdi er kendt, så:
Lad os nu beregne din cosinus:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Som vi kender cosinus på 60º, er vi nødt til at:
Reduktion af en vinkel, der er i 3. kvadrant til 1. kvadrant
Som i 2. kvadrant er der symmetri mellem vinkler i 3. kvadrant og vinkler i 1. kvadrant.
Sinus og cosinus i tredje kvadrant er negative. Så for at reducere sinus og cosinus fra 3. kvadrant til 1. kvadrant bruger vi formlen:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Tangenten i 3. kvadrant er positiv. For at reducere det bruger vi formlen:
tg x = tg (x - 180º)
Eksempel:
Beregn sinus, cosinus og tangens på 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - sin 45º
Da 45º er en bemærkelsesværdig vinkel, skal vi:
Nu skal vi beregne cosinus:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Vi ved, at tg45º = 1, så:
tg 225º = 1
Reduktion af en vinkel, der er i 4. kvadrant til 1. kvadrant
Med samme ræsonnement som de tidligere reduktioner er der en symmetri mellem 4. og 1. kvadrant:
Sinus- og tangensværdierne i 4. kvadrant er negative. Så for at foretage reduktionen fra 4. til 1. kvadrant bruger vi formlen:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Cosinus i 4. kvadrant er positiv. Så for at reducere til 1. kvadrant er formlen:
cos x = cos (360º - x)
Eksempel:
Beregn værdien af sinus og cosinus på 330º.
Startende med sinus:
Beregner nu cosinus:
Læs også: Hvordan beregnes afstanden mellem to punkter i rummet?
Trigonometriske cirkel løste øvelser
Spørgsmål 1 - Under studiet af det cirkulære øjeblik analyserede en fysiker et objekt, der roterede omkring sig selv og dannede en vinkel på 15.240º. Ved at analysere denne vinkel er buen dannet af den i:
A) kvadrant I.
B) kvadrant II.
C) kvadrant III.
D) kvadrant IV.
E) oven på en af akserne.
Løsning
Alternativ B.
Vi ved, at hver 360 ° dette objekt har afsluttet en cirkel omkring sig selv. Når du udfører division på 15.240 ved 360 finder vi, hvor mange komplette drejninger dette objekt har foretaget omkring sig selv, men vores største interesse er i resten, som repræsenterer den vinkel, hvormed den stoppede.
15.240: 360 = 42,333…
Resultatet viser, at han gjorde 42 drejninger om sig selv, men 360 · 42 = 15,120, så han efterlod en vinkel på:
15.240 – 15.120 = 120º
Vi ved, at 120 ° er en anden kvadrantvinkel.
Spørgsmål 2 - Bedøm følgende udsagn:
I → Ved beregning af tg 140º vil værdien være negativ.
II → Vinklen på 200 ° er en vinkel på 2. kvadrant.
III → Sen 130º = sin 50º.
Marker det rigtige alternativ:
A) Kun jeg er falsk.
B) Kun II er falsk.
C) Kun III er falsk.
D) Alt er sandt.
Løsning
Alternativ B.
I → Sandt, da 140º-vinklen hører til 2. kvadrant, hvor tangenten altid er negativ.
II → Falsk, da 200 ° vinklen er en vinkel på 3. kvadrant.
III → Sandt, for for at reducere en vinkel fra 2. til 1. kvadrant skal du bare beregne forskellen på 180 ° - x, så:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
synd 130 = synd 50
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
