Eksponentiel funktion: typer, graf, øvelser

DET eksponentiel funktion opstår, når variablen i dens dannelseslov er i eksponenten med domæne og kontradomæne i reelle tal. Domænet for den eksponentielle funktion er de reelle tal, og tællerdomænet er de ikke-nul positive reelle tal. Din uddannelseslov kan beskrives af f (x) =Det^x, på hvilke Det er et andet positivt reelt tal end 1.

O grafisk af en eksponentiel funktion vil altid være i den første og anden kvadrant af det kartesiske plan og kan stige, når Det er et tal større end 1 eller falder når Det er et positivt tal mindre end 1. DET invers funktion af den eksponentielle funktion er den logaritmiske funktion, som gør graferne for disse funktioner altid symmetriske.

Læs også: Hvad er funktion?

Hvad er en eksponentiel funktion?

Som navnet antyder, er udtrykket eksponentielt knyttet til eksponent. Så den eksponentielle funktionsdefinition er en funktion hvis domæne er sættet med reelle tal, og moddomænet er sættet med ikke-nul positive reelle tal., beskrevet af : ℝ → ℝ *

instagram story viewer

₊. Dannelsesloven er beskrevet af ligningen f (x) = Det^x, på hvilke Det det er ethvert reelt tal, positivt, ikke nul og givet basisnavnet.

Eksempler:

I formationsloven kan f (x) også beskrives som y, og som i de andre funktioner er det kendt som en afhængig variabel, fordi dens værdi afhænger af x, som er kendt som en variabel. uafhængig.

Eksponentielle funktionstyper

De eksponentielle funktioner kan klassificeres i to forskellige tilfælde. Under hensyntagen til funktionens opførsel kan det være stigende eller faldende.

En eksponentiel funktion kaldes stigende, hvis værdien af f stiger, når x stiger. Dette sker, når basen er større end 1, det vil sige: Det > 1.

Eksempel:

Graf over en stigende eksponentiel funktion

En eksponentiel funktion anses for at være faldende, hvis værdien af f (x) falder, når værdien af x stiger. Dette sker, når basen er et tal mellem 0 og 1, det vil sige 0 < Det < 1.

Eksempel:

Graf over en faldende eksponentiel funktion

Læs også: Forskelle mellem funktion og ligning

Eksponentiel funktionsgraf

For at tegne den grafiske repræsentation af en eksponentiel funktion er det nødvendigt at finde billedet til nogle domæneværdier. Grafen for en eksponentiel funktion har karakteristikken for en vækst, der er meget større end den for lineære funktioner, hvis det øges, eller et større fald, når det falder.

Eksempler:

a) Byg grafen for funktionen: f (x) = 2^x.

Siden> 1 øges denne funktion. For at opbygge grafen, lad os tildele nogle værdier til x som vist i nedenstående tabel:

Nu hvor vi kender nogle punkter i funktionen, er det muligt at markere dem i Cartesian fly og plotte den eksponentielle funktionskurve.

b) Byg grafen for følgende funktion:

I dette tilfælde er funktionen faldende, da basen er et tal mellem 0 og 1, så vil grafen være faldende.

Efter at have fundet nogle numeriske værdier er det muligt at repræsentere grafen for funktionen i det kartesiske plan:

Eksponentielle funktionsegenskaber

→ 1. ejendom

I enhver eksponentiel funktion, uanset dens basisværdi Det, Vi skalf (0) = 1. Når alt kommer til alt ved vi, at dette er en styrkeegenskabdet vil sige, at hvert tal, der hæves til 0, er 1. Dette betyder, at grafen skærer den lodrette akse ved punktet (0.1) hver gang.

→ 2. ejendom

Den eksponentielle funktion er injektor. Data x₁ og x₂ sådan at x₁ ≠ x₂, så billederne også vil være forskellige, dvs. f (x₁) ≠ f (x₂), hvilket betyder, at der for hver billedværdi er en enkelt værdi i domænet, der svarer til billedet.

At være injektiv betyder, at der for andre værdier end y vil være en enkelt værdi på x, der gør f (x) lig med y.

→ 3. ejendom

Det er muligt at kende funktionens opførsel i henhold til dens basisværdi. Grafen vokser, hvis basen er større end 1 (Det > 1) og falder, hvis basen er mindre end 1 og mindre end 0 (0

→ 4. ejendom

O grafen for den eksponentielle funktion er altid i 1. og 2. kvadrant, fordi funktionens moddomæne er de ikke-nul-positive realer.

Læs også: Hvordan tegner jeg en funktion?

Eksponentiel funktion og logaritmisk funktion

Da den eksponentielle funktion er en funktion, der tillader invers, er denne sammenligning mellem eksponentiel funktion og logaritmisk funktion uundgåelig. viser sig, at den logaritmiske funktion er den omvendte funktion af den eksponentielle. Graferne for disse funktioner er symmetriske omkring x-aksens halvering. At være en omvendt funktion betyder, at logaritmisk funktion gør det modsatte af, hvad den eksponentielle funktion gør, det vil sige i den eksponentielle funktion, hvis f (x) = y, vil den logaritmiske funktion, da den er invers, blive betegnet med f^-1 f^-1 (y) = x.

Grafen for den eksponentielle funktion er symmetrisk med grafen for den logaritmiske funktion.

løste øvelser

(Enem 2015) Arbejdstagerforeningen i en virksomhed antyder, at lønegulvet i klassen er R $ 1.800,00, hvilket foreslår en fast procentsats for hvert år dedikeret til arbejde. Udtrykket, der svarer til lønningsforslaget (erne), som en funktion af tjenestelængden (t), i år, er s (t) = 1800 · (1,03)^t.

I henhold til fagforeningens forslag vil lønnen til en professionel fra dette firma med 2 års tjeneste i reais være

a) 7.416,00

b) 3.819,24

c) 3.709,62

d) 3.708,00

e) 1909,62

Løsning:

Vi ønsker at beregne billedet af funktionen, når t = 2, dvs. s (2). Ved at erstatte t = 2 i formlen finder vi, at:

s (2) = 1800 (1,03) ²

s (2) = 1800 · 1.0609

s (2) = 1909,62

Alternativ E

2) (Enem 2015) Tilføjelsen af teknologier i det industrielle produktionssystem sigter mod at reducere omkostningerne og øge produktiviteten. I det første driftsår fremstillede en industri 8000 enheder af et bestemt produkt. Det følgende år investerede det i teknologi, erhvervede nye maskiner og øgede produktionen med 50%. Det skønnes, at denne procentvise stigning vil blive gentaget i de kommende år, hvilket garanterer en årlig vækst på 50%. Lad P være den årlige mængde produkter, der fremstilles i året t for industriens drift.

Hvis estimatet nås, hvad er udtrykket, der bestemmer antallet af producerede enheder Pi funktion af t, til t ≥ 1?

Det) P(t) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

B)P(t) = 50 · t ^-1+ 8000

ç)P(t) = 4.000 · t^-1 + 8 000

d)P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1

og)P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Løsning:

Bemærk, at der er et forhold mellem året t og mængden af et bestemt produkt P. Når man ved, at der er en stigning på 50% for hvert år, betyder det, at når man sammenligner produktionen et år før og efter, svarer værdien til det andet til 150%, hvilket er repræsenteret med 1,5. Når vi ved, at den oprindelige produktion er 8000, og at det i det første år var produktionen, kan vi beskrive denne situation ved at:

I det første år, dvs. hvis t = 1 → s (t) = 8 000.
I det andet år, hvis t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
I det tredje år, hvis t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Efter ti år vil vi have P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1.