Begreberne for multipler og skillevægge af et naturligt tal strækker sig til sættet af hele tal. Når vi beskæftiger os med emnet multipler og divisorer, henviser vi til numeriske sæt der opfylder nogle betingelser. Multipler findes efter multiplikation med hele tal, og delere er tal, der kan deles med et bestemt antal.
På grund af dette finder vi delmængder af heltalene, da elementerne i sæt multipler og divisorer er elementer i sæt af heltal. For at forstå, hvad primtal er, er det nødvendigt at forstå begrebet delere.
multipla af et tal
være Det og B to kendte heltal, antallet Det er flere af B hvis og kun hvis der er et heltal k sådan at Det = B · K. Således er den sæt multipler i Detopnås ved at multiplicereDetfor alle hele tal, resultaterne af disse multiplikationer er multipla af Det.
Lad os for eksempel liste de første 12 multipla af 2. Til dette er vi nødt til at gange antallet 2 med de første 12 heltal, således:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Derfor er multipler af 2:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Bemærk, at vi kun opførte de første 12 tal, men vi kunne have angivet så mange som nødvendigt, da listen over multipler er givet ved at gange et tal med alle heltal. Dermed, sættet af multipler er uendeligt.
For at kontrollere, om et tal er et multiplum af et andet, skal vi finde et helt tal, så multiplikationen mellem dem resulterer i det første tal. Se eksemplerne:
→ Talet 49 er et multiplum af 7, fordi der er et heltal, der multipliceret med 7 resulterer i 49.
49 = 7 · 7
→ Nummeret 324 er et multiplum af 3, da der er et heltal, der ganget med 3 resulterer i 324.
324 = 3 · 108
→ Nummeret 523 ingen er et multiplum af 2 fordi der er intet heltal hvilket ganget med 2 resulterer i 523.
523 = 2 · ?
Læs også: Multiplikationsegenskaber, der letter mental beregning
Multipler af 4
Som vi har set, skal vi multiplicere antallet 4 med hele tal for at bestemme multipla af tallet 4. Dermed:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Derfor er multipler af 4:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Multipler af 5
Analogt har vi multipla af 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Derfor er multiplerne af 5: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
et nummer skillevægge
være Det og B to kendte heltal, lad os sige B er skiller af Det hvis nummeret B er flere af Det, det vil sige division ind i mellem B og Det er nøjagtig (skal gå hvile 0).
Se nogle eksempler:
→ 22 er et multiplum af 2, så 2 er en skillevæg på 22.
→ 63 er et multiplum af 3, så 3 er en skillevæg på 63.
→ 121 er ikke et multiplum af 10, så 10 er ikke en skillevæg på 121.
For at liste opdelere af et tal skal vi kigge efter de numre, der deler det. Se:
- Angiv skillelinjerne på 2, 3 og 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Bemærk, at numre på listen over delere altid kan deles med det pågældende nummer og det den højeste værdi, der vises på denne liste, er selve nummeret., da intet antal større end det kan deles af det.
For eksempel i delere på 30 er den største værdi på denne liste 30 i sig selv, da intet tal større end 30 kan deles af det. Dermed:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Lær mere: Sjove fakta om opdeling af naturlige tal
Ejerskab af multipler og divisorer
Disse egenskaber er relateret til division mellem to heltal. Bemærk, at når et heltal er et multiplum af et andet, er det også deleligt med det andet tal.
Overvej divisionsalgoritme så vi bedre kan forstå egenskaberne.
N = d · q + r, hvor q og r er heltal.
huske på, at N Hedder af udbytted, til skillevæg;q, for kvotient; og r, forresten.
→ Ejendom 1: Forskellen mellem udbyttet og resten (N - r) er et multiplum af divisoren, eller tallet d er en divisor af (N - r).
→ Ejendom 2: (N - r + d) er et multiplum af d, dvs. tallet d er en skiller på (N - r + d).
Se eksemplet:
- Når vi udfører divisionen 525 med 8, får vi kvotienten q = 65 og resten r = 5. Således har vi udbyttet N = 525 og divisoren d = 8. Se, at egenskaberne er tilfredse, fordi (525 - 5 + 8) = 528 kan deles med 8 og:
528 = 8 · 66
Primtal
Du Primtal er dem der har som en skiller i deres liste kun tallet 1 og selve nummeret. For at kontrollere, om et tal er prime eller ej, er en af de mest trivielle metoder at liste divisorerne for dette nummer. Hvis tal mere end 1 og nummeret vises, er det ikke prime.
→ Kontroller, hvilke primtal der er mellem 2 og 20. Lad os opregne skillevægge for alle disse tal mellem 2 og 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Så primtalene mellem 2 og 20 er:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19}
Bemærk, at sættet kommer fra nogle af de første primtal, denne liste fortsætter. Bemærk, at jo større nummer, jo sværere bliver det at fortælle, om det er primært eller ej.
Læs mere: Irrationelle tal: dem, der ikke kan repræsenteres i brøker
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (UMC-SP) Antallet af elementer i sættet med hoveddelere på 60 er:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Opløsning
Alternativ A
Oprindeligt vil vi liste opdelere på 60, og så vil vi se på, hvilke der er primære.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Af disse tal har vi de vigtigste:
{2, 3, 5}
Derfor er antallet af hoveddelere på 60 3.
spørgsmål 2 - Skriv alle naturlige tal mindre end 100 og multipla af 15.
Opløsning
Vi ved, at multiplerne på 15 er resultaterne af at multiplicere tallet 15 med alle heltal. Da øvelsen beder om at skrive de naturlige tal mindre end 100, og som er multipla af 15, skal vi multiplicer 15 med alle tal større end nul, indtil vi finder det største multiplum før 100, dermed:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Derfor er naturlige tal mindre end 100 og multipla af 15:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
spørgsmål 3 - Hvad er det største multiplum af 5 mellem 100 og 1001?
Opløsning
For at bestemme det største multiplum af 5 mellem 100 og 1001 skal du blot identificere det første multiplum af 5 tilbage til front.
1001 er ikke et multiplum af 5, da der ikke er noget heltal, der multipliceret med 5 resulterer i 1001.
1000 er et multiplum af 5, da 1000 = 5 · 200.
Derfor er det største multiplum af 5, mellem 100 og 1001, 1000.
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm