Du naturlige tal var historisk det første numeriske sæt, der blev taget i betragtning. De kom frem fra har brug for at tælle af mennesket. Sættet med naturlige tal har som elementer positive tal og heltal, som 1, 2, 3, 4,…. Dette sæt har tilføjelsesoperationer, subtraktion, multiplikation, division, potentiering og stråling.
Hvad er naturlige tal?
naturlige tal er tal strengt positivt der ikke har komma, dvs. de repræsenterer mængder hel. Sættet af naturlige tal kan repræsenteres som følger:
Sættet med naturlige tal er a uendeligt sæt, dvs. givet ethvert naturligt tal, er der mindst et tal større end det. Se nogle eksempler på elementer, der hører til og ikke hører til dette sæt.
Fra eksemplet ovenfor har vi, at tallet 10, 2 og 100 hører til det naturlige sæt, og tallene 1,65, –2 og 0 ikke hører til det naturlige sæt.
Læs også: Sjove fakta om opdeling af naturlige tal
Efterfølger af et naturligt tal
Som vi sagde ovenfor, er sættet med naturlige tal et uendeligt sæt, det vil sige givet et hvilket som helst tal
ingen naturligt, der er altid n + 1, også naturligt. Nummeret n + 1 kaldes efterfølgeren til n. For at bestemme efterfølgeren til ethvert naturligt tal, bare tilføje 1 til dette nummer. Lad os som et eksempel bestemme efterfølgerne til tallene 3, 1, 5 og 2p + 1.Efterfølgeren til nummeret 3 er givet med 3 + 1, det vil sige tallet 4. Tilsvarende er efterfølgerne på henholdsvis 1 og 5 henholdsvis 2 og 6. Efter definitionen af efterfølger, lad os have, at efterfølgeren til 2p + 1 er 2p + 1 + 1, det vil sige 2p + 2.
Med definitionen af efterfølger bliver ideen om, at sættet af naturlige tal er uendeligt klarere, da det altid er muligt at finde en efterfølger af et naturligt tal.
Forfader til et naturligt tal
Forløberen for et naturligt tal ingen er den, der går forud for dette tal ingen. Vi kan skrive forgænger for ingen synes godt om n - 1. Lad os som et eksempel bestemme forgængerne for numrene 2, 5, 1000 og 2p + 1.
Forløberen for 2 er givet med 2 - 1, så det er tallet 1. På samme måde er forgængerne for henholdsvis 5 og 1000 tallene 4 og 999. Forløberen for nummeret 2p + 1 er 2p + 1-1 - det vil sige forgængeren for 2p +1 er nummeret 2p.
Det er vigtigt at sige det ikke alle naturlige tal har en forgænger, er tilfældet med nummer 1. Ved at anvende definitionen af forfader har vi, at forgængeren til tallet 1 er 1 - 1 = 0, men nummeret nul hører ikke til naturlige tal. Derfor har hvert naturligt tal en forgænger, med undtagelse af nummer 1. Af denne grund kaldes tallet 1 det minimale element for naturerne, det vil sige det er det mindste naturlige tal. Vi kan skrive disse oplysninger sådan:
Delsæt af naturlige tal
Vi ved, at sættet med naturlige tal består af strengt positive tal, det vil sige tal større end nul. Fra teorien om sæt, vi har det, givet sæt A og B, siger vi det B er en delmængde af A, hvis hvert element af B er et element af A, det vil sige, B er indeholdt i A (B ⸦ A).
Således vil ethvert sæt dannet af naturlige tal være en delmængde af de naturlige tal. Se nogle eksempler:
Overvej sætene:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Sæt A, B og C er delmængder af de naturlige tal, da alle elementerne i disse sæt også er elementer af de naturlige, det vil sige, vi kan sige, at:
Se nu på sæt D. Bemærk, at i dette sæt hører ikke alle elementer til sættet med naturlige tal. Dette er tilfældet med tallet 0. Derfor har D det er ikke delmængde af naturlige tal, det vil sige D er ikke indeholdt i sættet med naturlige tal. Vi betegner denne kendsgerning som følger:
Læs også: Primtal: hvad er de, og hvordan finder man dem?
selv naturlige tal
Vi siger, at et tal er, selvom det er et multiplum af tallet 2, hvilket svarer til at sige, at dette tal er deleligt med 2. Se:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Fordi sættet med naturlige tal er et uendeligt sæt, så er sættet med lige tal. Bemærk også, at hvert element i sættet med lige tal også er et element i de naturlige tal og derfor sættet med lige tal er en delmængde af de naturlige..
Kan du se det:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Sættet med lige tal kan opnås ved at gange alle naturlige tal med tallet 2. Så i betragtning af et naturligt tal ingen, vi kan skrive et lige tal ved hjælp af udtrykket 2n, så sættet med lige tal kan skrives generelt ved:
Lad os som et eksempel finde ud af, om tallene 1000, 2098 og 55 er ens.
Da 1000 = 2 · 500 og 2098 = 2 · 1049, er de endda fordi der er et naturligt tal, der ganges med 2, giver dem. Nu er 55 ikke engang, da der ikke er noget naturligt tal, der multipliceret med 2 resulterer i 55. Se:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Som vi ved godt, er der intet naturligt tal mellem 27 og 28, så 55 er ikke engang.
Ulige naturlige tal
Et tal er ulige, hvis det ikke er ens, det vil sige når det hverken er multipelt eller deleligt med 2. Således sæt af ulige naturlige tal er naturlige tal, der ikke er multipla af 2. Dette sæt kan skrives som følger:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Analogt med hvad vi gjorde i sættet med lige tal, har vi:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Sættet med ulige tal kan opnås ved at gange det alle naturlige tal med 2 og tilføj 1. overvejer et naturligt tal ingen enhver, vi kan skrive et hvilket som helst ulige tal ved hjælp af udtrykket 2n + 1. Generelt repræsenterer vi sættet med ulige tal ved:
Bemærk, at sættet med ulige tal også er et uendeligt sæt, for for at få de ulige tal multiplicerer vi de naturlige tal med 2 og tilføjer derefter 1. Af denne grund er den sæt af ulige tal er også en delmængde af naturlige., fordi hvert element i dette sæt også er et element i de naturlige.
Se også: Egenskaber med lige og ulige tal
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Angiv kun de naturlige numre på nedenstående numre:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 og 98,765
Opløsning
Vi ved, at sættet med naturlige tal består af strengt positive tal, der ikke har komma, så de naturlige tal på listen er: 1, 2 og 98.765.
spørgsmål 2 - I betragtning af den generelle form af et lige tal, er det sandt, at tilføjelse af to lige tal, at resultatet stadig er jævnt? Det samme gælder for ulige tal?
Opløsning
Vi ved, at et lige antal generelt kan skrives ved at gange et hvilket som helst naturligt tal med 2. Overvej to forskellige naturlige tal, 2n og 2m, hvor m og ingen alle naturlige tal, summen af de to bestemmes af:
2n + 2m
At sætte nummer 2 som bevis, har vi:
2 · (n + m)
Synes godt om ingen og m er to naturlige tal, deres sum er også, så n + m = k, hvor k et naturligt tal.
2 · (n + m)
2 · k
Derfor er summen af to lige naturlige tal også et lige tal, da summen resulterede i et multiplum af 2.
Nu ved vi, at et ulige tal gives ved at gange et naturligt tal med 2 føjet til tallet 1. Overvej nu to forskellige ulige tal, 2n +1 og 2m + 1, med m og ingen naturlig. Når vi tilføjer disse tal, har vi:
2n + 1 + 2m +1
2n + 2m +2
Igen sætter vi nummer 2 som bevis, vi har:
2 (n + m + 1)
Bemærk, at n + m + 1 er et naturligt tal, og vi kan repræsentere det med p, dvs. n + m + 1 = p, snart:
2 ·(n + m + 1)
2 · P
Bemærk, at resultatet af at tilføje to ulige tal resulterede i et multiplum af 2, det vil sige lige. Derfor er summen af to ulige tal et lige antal.
Spørgsmål 3 - (Tender / Pref. fra Itaboraí) Kvotienten mellem to naturlige tal er 10. Ved at multiplicere udbyttet med 5 og reducere divisoren med halvdelen vil kvotienten for den nye division være:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Opløsning
Ifølge udsagnet er kvotienten (opdeling) mellem to naturlige tal 10. Da vi stadig ikke ved, hvad disse tal er, lad os navngive dem efter m og ingen, derefter:
Nu multiplicerer vi udbyttet med 5 og reducerer divisoren med halvdelen, har vi:
Gennemførelse af brøkdel og erstatte værdien af m, vi vil have:
Svar: Alternativ e.
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm