To forskellige linjer, der er i samme plan, er samtidige, når de har et enkelt punkt til fælles.
De samtidige linjer danner 4 vinkler i forhold til hinanden, og ifølge målingerne af disse vinkler kan de være vinkelrette eller skrå.
Når de 4 vinkler, der dannes af dem, er lig med 90º, kaldes de vinkelret.
I figuren nedenfor linjerne r og s er vinkelrette.
Hvis de dannede vinkler er forskellige fra 90 °, kaldes de skrå konkurrenter. I figuren nedenfor repræsenterer vi linjerne u og v skråninger.
Konkurrerende, sammenfaldende og parallelle linjer
To linjer, der hører til det samme plan, kan være sammenfaldende, sammenfaldende eller parallelle.
Mens de samtidige linjer har et enkelt skæringspunkt, har de sammenfaldende linjer mindst to punkter til fælles og parallelle linjer de har ingen fælles punkter.
Relativ position af to lige
Når vi kender ligningerne på to linjer, kan vi kontrollere deres relative positioner. Til dette skal vi løse det system, der dannes ved ligningerne af de to linjer. Så vi har:
- Samtidige linjer: systemet er muligt og bestemt (et enkelt punkt til fælles).
- Sammenfaldende linjer: systemet er muligt og bestemt (uendeligt fælles punkt).
- Parallelle linjer: systemet er umuligt (ingen fælles punkter).
Eksempel:
Bestem den relative position mellem linien r: x - 2y - 5 = 0 og linien s: 2x - 4y - 2 = 0.
Opløsning:
For at finde den relative position mellem de givne linjer skal vi beregne ligningssystemet dannet af deres linjer, så vi har:
Når vi løser systemet ved tilføjelse finder vi følgende ligning 0y = - 8, da der ikke er nogen løsning til denne ligning, er det umuligt. På denne måde er de to linjer parallelle.
Modsatte vinkler fra Vertex
To samtidige linjer danner to par vinkler. Disse vinkler har et fælles punkt, der kaldes et toppunkt.
De par af vinkler, der er modsat af toppunktet, er kongruente, dvs. de har samme måling.
I figuren nedenfor repræsenterer vi vinklerne AÔB og CÔD, der er modsatte af toppunktet, såvel som vinklerne AÔC og BÔD.
Skæringspunkt mellem to samtidige lige linjer
Skæringspunktet mellem to samtidige linjer hører til ligningerne af de to linjer. På denne måde kan vi finde koordinaterne for dette punkt til fælles, løse systemet dannet af ligningerne af disse linjer.
Eksempel:
Bestem koordinaterne for et punkt P, der er fælles for linjerne r og s, hvis ligninger er henholdsvis x + 3y + 4 = 0 og 2x - 5y - 2 = 0.
Opløsning:
For at finde koordinaterne for punktet skal vi løse systemet med de givne ligninger. Så vi har:
Løsning af systemet har vi:
Ved at erstatte denne værdi i den første ligning finder vi:
Derfor er koordinaterne for skæringspunktet , dvs.
.
Lær mere ved også at læse:
- Vinkelrette linjer
- lige
- konisk
Løst øvelser
1) I et ortogonalt aksesystem er - 2x + y + 5 = 0 og 2x + 5y - 11 = 0 henholdsvis ligningerne for linierne r og s. Find koordinaterne for skæringspunktet for r og s.
P (3, 1)
2) Hvad er koordinaterne for hjørnerne i en trekant, idet vi ved, at ligningerne af støttelinierne på dens sider er - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 og 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Bestem den relative position for linjerne r: 3x - y -10 = 0 og 2x + 5y - 1 = 0.
De lige linjer er samtidige og er skæringspunktet (3, - 1).
