Matrix er en tabel dannet af reelle tal, arrangeret i rækker og kolonner. Tallene, der vises i matricen, kaldes elementer.
Udnyt de løste og kommenterede indgangsspørgsmål til at fjerne al din tvivl om dette indhold.
Problemer med adgangseksamen løst
1) Unicamp - 2018
Lad a og b være reelle tal, så matrixen A = opfylder ligning A2= aA + bI, hvor I er identitetsmatrixen i rækkefølge 2. Så produktet ab er lig med
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
For at finde ud af værdien af produkt a.b skal vi først kende værdien af a og b. Så lad os overveje ligningen i problemet.
Lad os beregne værdien af A for at løse ligningen2, hvilket gøres ved at multiplicere matrix A med sig selv, det vil sige:
Denne handling udføres ved at multiplicere rækkerne i den første matrix med kolonnerne i den anden matrix, som vist nedenfor:
På denne måde matrix A2 det er det samme som:
I betragtning af den værdi, vi lige har fundet, og husker, at i identitetsmatricen er elementerne i hoveddiagonalen lig med 1, og de andre elementer er lig med 0, vil ligningen være:
Vi er nu nødt til at multiplicere matrixen A med tallet a og identitetsmatricen med tallet b.
Husk at for at multiplicere et tal med et array multiplicerer vi antallet med hvert element i arrayet.
Således vil vores lighed være lig med:
Tilføjelse af de to matricer har vi:
To matricer er ens, når alle tilsvarende elementer er ens. På denne måde kan vi skrive følgende system:
Isolering af a i den anden ligning:
Ved at erstatte værdien fundet for a i den første ligning finder vi værdien af b:
2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1
Således vil produktet blive givet af:
Det. b = - 1. 2
Det. b = - 2
Alternativ: a) −2.
2) Unesp - 2016
Et punkt P, med koordinater (x, y) for det ortogonale kartesiske plan, er repræsenteret af søjlematrixen. samt søjlematrixen
repræsenterer i det ortogonale kartesiske plan punktet P for koordinaterne (x, y). Således resultatet af matrixmultiplikation
er en søjlematrix, der i det ortogonale kartesiske plan nødvendigvis repræsenterer et punkt, der er
a) en 180 ° rotation af P med urets retning og med centrum ved (0, 0).
b) en rotation af P gennem 90 ° mod uret med centrum ved (0, 0).
c) symmetrisk for P i forhold til den vandrette x-akse.
d) symmetrisk for P i forhold til den lodrette y-akse.
e) en rotation af P til 90 ° med uret og med centrum ved (0, 0).
Punktet P er repræsenteret af en matrix, således at abscissen (x) er angivet med elementet a.11 og ordinaten (y) efter element a21 af matrixen.
For at finde den nye position for punkt P, skal vi løse multiplikationen af de præsenterede matricer, og resultatet bliver:
![Unesp-spørgsmål 2016-matricer](/f/f409e1f3d9a338e4209a3ca761127ea7.jpg)
Resultatet repræsenterer den nye koordinat for punkt P, dvs. abscissen er lig med -y og ordinaten er lig med x.
For at identificere den transformation, der gennemgår positionen af punkt P, lad os repræsentere situationen i det kartesiske plan som angivet nedenfor:
![Unesp 2016 matricespørgsmål](/f/7c3e776b102f5d27e31ebe081f5ec75a.jpg)
Derfor flyttede punkt P, som først var placeret i 1. kvadrant (positiv abscissa og ordinat) til 2. kvadrant (negativ abscissa og positiv ordinat).
Når man bevæger sig til denne nye position, blev punktet drejet mod uret som vist på billedet ovenfor med den røde pil.
Vi skal stadig identificere, hvad rotationsvinkelværdien var.
Ved at forbinde den oprindelige position af punkt P til centrum af den kartesiske akse og gøre det samme i forhold til dets nye position P ', har vi følgende situation:
![Unesp 2016 matricespørgsmål](/f/34ec707197fa8ef07e769b6014a96091.jpg)
Bemærk, at de to trekanter, der er angivet i figuren, er kongruente, dvs. de har de samme målinger. På denne måde er deres vinkler også de samme.
Derudover er vinklerne α og θ komplementære, da summen af de indre vinkler af trekanter er lig med 180 °, og da trekanten er retvinklet, vil summen af disse to vinkler være lig med 90 °.
Derfor kan punktets rotationsvinkel, angivet i figuren med β, kun være lig med 90º.
Alternativ: b) en 90 ° rotation af P mod uret med centrum ved (0, 0).
3) Unicamp - 2017
Da a er et reelt tal, skal du overveje matrixen A = . Så2017 det er det samme som
Det)
B)
ç)
d)
Lad os først prøve at finde et mønster for kræfterne, da det er meget arbejde at multiplicere matrix A alene 2017 gange.
Husk at i matrixmultiplikation findes hvert element ved at tilføje resultaterne af at multiplicere elementerne i rækken af det ene med elementerne i den anden søjle.
Lad os starte med at beregne A2:
Resultatet var identitetsmatrixen, og når vi multiplicerer en hvilken som helst matrix med identitetsmatricen, bliver resultatet selve matrixen.
Derfor er værdien af A3 vil være lig matrixen A, fordi A3 = A2. DET.
Dette resultat gentages, dvs. når eksponenten er jævn, er resultatet identitetsmatricen, og når det er ulige, vil det være selve matrixen A.
Da 2017 er ulige, vil resultatet være lig matrix A.
Alternativ: b)
4) UFSM - 2011
![UFSM-matrixudgave 2011](/f/aabaaa165958a2d9657462339f3f430f.jpg)
Det givne diagram repræsenterer den forenklede fødekæde i et givet økosystem. Pile angiver arten, som de andre arter lever af. Ved at tildele en værdi på 1, når en art lever af en anden og nul, når det modsatte forekommer, har vi følgende tabel:
![ufsm 2011-udgivelsesmatricer](/f/287f7052ff8ed543ca7fff9f10f709f9.jpg)
Matrixen A = (aij)4x4, der er knyttet til tabellen, har følgende uddannelseslov:
Da række nummer er angivet med i og kolonne nummer angivet med j, og ser på tabellen, bemærker vi, at når i er lig med j, eller i er større end j, er resultatet nul.
Positionerne optaget af 1 er dem, hvor kolonnetallet er større end linjenummeret.
Alternativ: c)
5) Unesp - 2014
Overvej matrixligningen A + BX = X + 2C, hvis ukendte er matrixen X og alle matricer er kvadratisk af rækkefølgen n. Den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for, at denne ligning har en enkelt løsning, er at:
a) B - I ≠ O, hvor I er identitetsmatrixen for orden n, og O er nulmatricen for orden n.
b) B er inverterbar.
c) B ≠ O, hvor O er nulmatricen i rækkefølge n.
d) B - I er inverterbar, hvor jeg er identitetsmatrixen for orden n.
e) A og C er inverterbare.
For at løse matrixligningen skal vi isolere X på den ene side af ligetegnet. For at gøre dette, lad os først trække matrixen A på begge sider.
A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A
Lad os nu trække X, også på begge sider. I dette tilfælde vil ligningen være:
BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A
Da jeg er identitetsmatrixen, når vi multiplicerer en matrix med identiteten, er resultatet selve matrixen.
Så for at isolere X skal vi nu multiplicere begge sider af lighedstegnet med den inverse matrix af (B-I), det vil sige:
X. (B - I). (B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)
Husk at når en matrix er inverterbar, er matrixens produkt med det inverse lig med identitetsmatrixen.
X = (B - I) - 1. (2C - A)
Således vil ligningen have en løsning, når B - I er inverterbar.
Alternativ: d) B - I er inverterbar, hvor jeg er identitetsmatrixen for orden n.
6) Enem - 2012
En studerende registrerede to-måneders karakterer for nogle af sine fag i en tabel. Han bemærkede, at de numeriske poster i tabellen dannede en 4x4 matrix, og at han kunne beregne årlige gennemsnit for disse discipliner ved hjælp af produktet af matricer. Alle prøver havde samme vægt, og tabellen, han fik, er vist nedenfor
![Tabel i 2012 Matricer](/f/8f9e655a8835e2f3131104754780f51b.jpg)
For at opnå disse gennemsnit multiplicerede han matrixen opnået fra tabellen med
Det aritmetiske gennemsnit beregnes ved at tilføje alle værdierne og dividere med antallet af værdier.
Således skal den studerende tilføje karaktererne for de 4 bimestere og dele resultatet med 4 eller gange hver klasse med 1/4 og tilføje alle resultaterne.
Ved hjælp af matricer kan vi opnå det samme resultat ved at udføre matrixmultiplikation.
Vi skal dog huske, at det kun er muligt at multiplicere to matricer, når antallet af kolonner i den ene er lig med antallet af rækker i den anden.
Da matrixen med noter har 4 kolonner, skal den matrix, som vi skal multiplicere, have 4 rækker. Således skal vi gange med kolonnematrixen:
Alternativ: og
7) Fuvest - 2012
Overvej matrixen , på hvilke Det er et reelt tal. At vide, at A indrømmer omvendt A-1 hvis første kolonne er
, summen af elementerne i hoveddiagonalen for A.-1 det er det samme som
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Multiplikation af en matrix med dens inverse er lig identitetsmatrixen, så vi kan repræsentere situationen ved følgende operation:
Løsning af multiplikationen af anden række i den første matrix med den første kolonne i den anden matrix, har vi følgende ligning:
(til 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2. plads2 - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2. plads2 - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2
Ved at erstatte værdien af a i matrixen har vi:
Nu hvor vi kender matrixen, lad os beregne dens determinant:
Således vil summen af hoveddiagonalen være lig med 5.
Alternativ: a) 5
For at lære mere, se også:
- Matricer
- Determinanter
- Sarrus 'regel
- Laplace's sætning
- Transponeret matrix