Matricer: Kommenterede og løste øvelser

Matrix er en tabel dannet af reelle tal, arrangeret i rækker og kolonner. Tallene, der vises i matricen, kaldes elementer.

Udnyt de løste og kommenterede indgangsspørgsmål til at fjerne al din tvivl om dette indhold.

Problemer med adgangseksamen løst

1) Unicamp - 2018

Lad a og b være reelle tal, så matrixen A = åbne parenteser tabel række med 1 2 række med 0 1 slutningen af tabel lukke parenteser opfylder ligning A²= aA + bI, hvor I er identitetsmatrixen i rækkefølge 2. Så produktet ab er lig med

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Se svar

For at finde ud af værdien af produkt a.b skal vi først kende værdien af a og b. Så lad os overveje ligningen i problemet.

Lad os beregne værdien af A for at løse ligningen², hvilket gøres ved at multiplicere matrix A med sig selv, det vil sige:

Et kvadrat svarende til åbne firkantede parenteser tabel række med 1 2 række med 0 1 slutningen af tabellen lukker firkantede parenteser. åbne parenteser tabel række med 1 2 række med 0 1 slutningen af tabel lukke parenteser

Denne handling udføres ved at multiplicere rækkerne i den første matrix med kolonnerne i den anden matrix, som vist nedenfor:

På denne måde matrix A² det er det samme som:

Et kvadrat er lig med åbne firkantede parenteser tabel række med 1 4 række med 0 1 slutningen af tabel tæt firkantede parenteser

I betragtning af den værdi, vi lige har fundet, og husker, at i identitetsmatricen er elementerne i hoveddiagonalen lig med 1, og de andre elementer er lig med 0, vil ligningen være:

instagram story viewer

åbne parenteser tabel række med 1 4 række med 0 1 slutningen af tabel tæt parenteser lig med a. åbne parenteser tabel række med 1 2 række med 0 1 slutningen af tabel lukke parentes mere b. åbne parenteser tabel række med 1 0 række med 0 1 slutningen af tabel lukke parenteser

Vi er nu nødt til at multiplicere matrixen A med tallet a og identitetsmatricen med tallet b.

Husk at for at multiplicere et tal med et array multiplicerer vi antallet med hvert element i arrayet.

Således vil vores lighed være lig med:

åbne parenteser tabel række med 1 4 række med 0 1 slutningen af tabel lukke parenteser lig med åbne parenteser tabel række med celle med 2 til slutning af celle række med 0 slutning af tabel luk firkantede parenteser mere åbne firkantede parenteser tabel række med b 0 række med 0 b slutning af tabel luk beslag

Tilføjelse af de to matricer har vi:

åbne parenteser tabel række med 1 4 række med 0 1 slutningen af tabellen lukker parenteser lig med åbne parenteser tabel række med celle med en plus b ende af celle celle med 2 ende af celle række med 0 celle med en plus b ende af celle ende af tabel tæt beslag

To matricer er ens, når alle tilsvarende elementer er ens. På denne måde kan vi skrive følgende system:

åbne nøgler tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med et plus b lig med 1 ende af celle række med celle med 2 a lig med 4 slutning af celle slutning af tabel tæt

Isolering af a i den anden ligning:

2 til 4 dobbelt højre pil lig med 4 over 2 dobbelt højre pil lig med 2

Ved at erstatte værdien fundet for a i den første ligning finder vi værdien af b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Således vil produktet blive givet af:

Det. b = - 1. 2
Det. b = - 2

Alternativ: a) −2.

2) Unesp - 2016

Et punkt P, med koordinater (x, y) for det ortogonale kartesiske plan, er repræsenteret af søjlematrixen. åbne parenteser tabel række med x række med y slutningen af tabel lukke parenteser samt søjlematrixen repræsenterer i det ortogonale kartesiske plan punktet P for koordinaterne (x, y). Således resultatet af matrixmultiplikation åbne firkantede parenteser tabel række med 0 celle med minus 1 ende af celle række med 1 0 slutningen af tabel lukker firkantede parenteser. åbne parenteser tabel række med x række med y slutningen af tabel lukke parenteser er en søjlematrix, der i det ortogonale kartesiske plan nødvendigvis repræsenterer et punkt, der er

a) en 180 ° rotation af P med urets retning og med centrum ved (0, 0).
b) en rotation af P gennem 90 ° mod uret med centrum ved (0, 0).
c) symmetrisk for P i forhold til den vandrette x-akse.
d) symmetrisk for P i forhold til den lodrette y-akse.
e) en rotation af P til 90 ° med uret og med centrum ved (0, 0).

Se svar

Punktet P er repræsenteret af en matrix, således at abscissen (x) er angivet med elementet a.₁₁ og ordinaten (y) efter element a₂₁af matrixen.

For at finde den nye position for punkt P, skal vi løse multiplikationen af de præsenterede matricer, og resultatet bliver:

Resultatet repræsenterer den nye koordinat for punkt P, dvs. abscissen er lig med -y og ordinaten er lig med x.

For at identificere den transformation, der gennemgår positionen af punkt P, lad os repræsentere situationen i det kartesiske plan som angivet nedenfor:

Derfor flyttede punkt P, som først var placeret i 1. kvadrant (positiv abscissa og ordinat) til 2. kvadrant (negativ abscissa og positiv ordinat).

Når man bevæger sig til denne nye position, blev punktet drejet mod uret som vist på billedet ovenfor med den røde pil.

Vi skal stadig identificere, hvad rotationsvinkelværdien var.

Ved at forbinde den oprindelige position af punkt P til centrum af den kartesiske akse og gøre det samme i forhold til dets nye position P ', har vi følgende situation:

Bemærk, at de to trekanter, der er angivet i figuren, er kongruente, dvs. de har de samme målinger. På denne måde er deres vinkler også de samme.

Derudover er vinklerne α og θ komplementære, da summen af de indre vinkler af trekanter er lig med 180 °, og da trekanten er retvinklet, vil summen af disse to vinkler være lig med 90 °.

Derfor kan punktets rotationsvinkel, angivet i figuren med β, kun være lig med 90º.

Alternativ: b) en 90 ° rotation af P mod uret med centrum ved (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Da a er et reelt tal, skal du overveje matrixen A = åbne parenteser tabel række med 1 række med 0 celle med minus 1 ende af celle slutningen af tabel lukke parenteser . Så²⁰¹⁷ det er det samme som
Det)
B)
ç)
d)

Se svar

Lad os først prøve at finde et mønster for kræfterne, da det er meget arbejde at multiplicere matrix A alene 2017 gange.

Husk at i matrixmultiplikation findes hvert element ved at tilføje resultaterne af at multiplicere elementerne i rækken af det ene med elementerne i den anden søjle.

Lad os starte med at beregne A²:

åbne parenteser tabel række med 1 række med 0 celle med minus 1 ende af celle slutningen af tabel lukker parentes plads. mellemrum åbne parenteser tabel række med 1 række med 0 celle med minus 1 ende af celle slutningen af tabel tæt parenteser lig med åbne parenteser tabel række med celle med 1.1 plus a. 0 ende af celle celle med mellemrum plads 1. mest a. venstre parentes minus 1 højre parentes slutning af celle række til celle med 0,1 plus 0. venstre parentes minus 1 højre parentes celleendecelle med 0. plus venstre parentes minus 1 højre parentes. venstre parentes minus 1 højre parentes slutningen af celle slutningen af tabellen lukker parenteser er lig med åbne parenteser tabel række med 1 0 række med 0 1 slutningen af tabellen parenteser

Resultatet var identitetsmatrixen, og når vi multiplicerer en hvilken som helst matrix med identitetsmatricen, bliver resultatet selve matrixen.

Derfor er værdien af A³ vil være lig matrixen A, fordi A³ = A². DET.

Dette resultat gentages, dvs. når eksponenten er jævn, er resultatet identitetsmatricen, og når det er ulige, vil det være selve matrixen A.

Da 2017 er ulige, vil resultatet være lig matrix A.

Alternativ: b) åbne parenteser tabel række med 1 række med 0 celle med minus 1 ende af celle slutningen af tabel lukke parenteser

4) UFSM - 2011

Det givne diagram repræsenterer den forenklede fødekæde i et givet økosystem. Pile angiver arten, som de andre arter lever af. Ved at tildele en værdi på 1, når en art lever af en anden og nul, når det modsatte forekommer, har vi følgende tabel:

Matrixen A = (a_ij)_4x4, der er knyttet til tabellen, har følgende uddannelseslov:

højre parentes er et mellemrum med i j subscript slutningen af abonnementet lig med åbne nøgler tabel attributter kolonnejustering venstre ende af attributter række med celle med 0 komma s mellemrum og i mellemrum mindre end eller lig med j slutningen af celle række med celle med 1 komma s mellemrum og i mellemrum større end j slutningen af celle slutningen af tabellen lukker b højre parentes plads a med i j abonnementets slutning af abonnement lig med åbne nøgler tabelattributter kolonnetilpasning venstre ende af attributter række med celle med 0 komma s mellemrum og i mellemrum lig med j slutningen af celle række med celle med 1 komma mellemrum s og i mellemrum ikke lig j slutning af celle slutning af tabel lukkes c højre parentes mellemrum a med i j abonnement slutning af abonnement lig a åbner nøgletabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med 0 komma mellemrum og i mellemrum større end eller lig med j slutningen af celle række med celle med 1 komma s mellemrum og i mellemrum mindre end j slutningen af celleenden af tabellen luk d højre parentes et mellemrum med i j underskrift slutningen af abonnementet lig med åbne nøgleegenskaber for tabel søjlejustering venstre ende af attributter række med celle med 0 komma s mellemrum og i mellemrum ikke lig j slutning af celle række med celle med 1 komma mellemrum og i mellemrum lig med j slutningen af celleenden af tabellen lukkes og højre parentes er et mellemrum med i j abonnementet slutningen af abonnementet er lig med åbne nøgler tabel attributter kolonnejustering venstre ende af attributternes række med celle med 0 komma-mellemrum og i mellemrum mindre end j slutningen af celle række med celle med 1 komma-mellemrum og i mellemrum større end j slutningen af celleenden af bordet lukkes

Se svar

Da række nummer er angivet med i og kolonne nummer angivet med j, og ser på tabellen, bemærker vi, at når i er lig med j, eller i er større end j, er resultatet nul.

Positionerne optaget af 1 er dem, hvor kolonnetallet er større end linjenummeret.

Alternativ: c) a med i j abonnementsslutning af abonnement svarende til åbne nøgler tabelattributter kolonnetilpasning venstre ende af attributter række med celle med 0 komma plads og i mellemrum større end eller lig med j slutningen af celle række med celle med 1 komma plads og jeg mellemrum mindre end j slutningen af celle slutningen af tabellen lukker

5) Unesp - 2014

Overvej matrixligningen A + BX = X + 2C, hvis ukendte er matrixen X og alle matricer er kvadratisk af rækkefølgen n. Den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for, at denne ligning har en enkelt løsning, er at:

a) B - I ≠ O, hvor I er identitetsmatrixen for orden n, og O er nulmatricen for orden n.
b) B er inverterbar.
c) B ≠ O, hvor O er nulmatricen i rækkefølge n.
d) B - I er inverterbar, hvor jeg er identitetsmatrixen for orden n.
e) A og C er inverterbare.

Se svar

For at løse matrixligningen skal vi isolere X på den ene side af ligetegnet. For at gøre dette, lad os først trække matrixen A på begge sider.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Lad os nu trække X, også på begge sider. I dette tilfælde vil ligningen være:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Da jeg er identitetsmatrixen, når vi multiplicerer en matrix med identiteten, er resultatet selve matrixen.

Så for at isolere X skal vi nu multiplicere begge sider af lighedstegnet med den inverse matrix af (B-I), det vil sige:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Husk at når en matrix er inverterbar, er matrixens produkt med det inverse lig med identitetsmatrixen.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Således vil ligningen have en løsning, når B - I er inverterbar.

Alternativ: d) B - I er inverterbar, hvor jeg er identitetsmatrixen for orden n.

6) Enem - 2012

En studerende registrerede to-måneders karakterer for nogle af sine fag i en tabel. Han bemærkede, at de numeriske poster i tabellen dannede en 4x4 matrix, og at han kunne beregne årlige gennemsnit for disse discipliner ved hjælp af produktet af matricer. Alle prøver havde samme vægt, og tabellen, han fik, er vist nedenfor

For at opnå disse gennemsnit multiplicerede han matrixen opnået fra tabellen med

højre parentes plads åbne firkantede parenteser tabel række med celle med 1 halv ende af celle med 1 halv ende af celle celle med 1 halv ende af celle celle med 1 halv ende af celleenden af bordet lukker firkantede parenteser b højre parentes plads åbne firkantede parenteser tabel række med 1 fjerde celleende af celle 1 fjerde celleende af cellecelle med 1 fjerde ende af cellecelle med 1 fjerde ende af celleende af tabel lukke parenteser c højre parentes plads åbne parenteser tabel 1 linje 1 linje 1 linje 1 linje med 1 ende af tabel tæt parentes d højre parentes plads åbne parentes tabel række med celle med 1 halv ende af celle række med celle med 1 halv ende af celle række med celle med 1 halvdel af celle række med celle med 1 halv ende af celle slutning af tabel tæt firkantede parenteser og højre parentes plads åbne firkantede parenteser tabel række med celle med 1 fjerde ende af celle række med celle med 1/4 ende af celle række med celle med 1/4 ende af celle række med celle med 1/4 ende af celle ende af tabel tæt beslag

Se svar

Det aritmetiske gennemsnit beregnes ved at tilføje alle værdierne og dividere med antallet af værdier.

Således skal den studerende tilføje karaktererne for de 4 bimestere og dele resultatet med 4 eller gange hver klasse med 1/4 og tilføje alle resultaterne.

Ved hjælp af matricer kan vi opnå det samme resultat ved at udføre matrixmultiplikation.

Vi skal dog huske, at det kun er muligt at multiplicere to matricer, når antallet af kolonner i den ene er lig med antallet af rækker i den anden.

Da matrixen med noter har 4 kolonner, skal den matrix, som vi skal multiplicere, have 4 rækker. Således skal vi gange med kolonnematrixen:

åbne firkantede parenteser tabel række med celle 1 fjerde ende af celle række med celle 1 fjerde ende af celle række med celle med 1/4 ende af celle række med celle med 1/4 ende af celleenden af bordet tæt beslag

Alternativ: og

7) Fuvest - 2012

Overvej matrixen A svarer til åbne firkantede parenteser tabel række med celle med 2 plus 1 ende af celle række med celle med minus 1 ende af celle celle med plus 1 ende af celle slutningen af tabel lukke parenteser , på hvilke Det er et reelt tal. At vide, at A indrømmer omvendt A^-1 hvis første kolonne er , summen af elementerne i hoveddiagonalen for A.^-1 det er det samme som