En andengrads ligning er hele ligningen i form økse2 + bx + c = 0, med a, b og c reelle tal og a ≠ 0. For at løse en ligning af denne type kan du bruge forskellige metoder.
Brug de kommenterede beslutninger fra øvelserne nedenfor for at fjerne al din tvivl. Sørg også for at teste din viden med de løste konkurrencespørgsmål.
Kommenterede øvelser
Øvelse 1
Min mors alder ganget med min alder er lig med 525. Hvis min mor var 20 år gammel, da jeg blev født, hvor gammel er jeg da?
Opløsning
I betragtning af min alder lig med x, kan vi derefter overveje, at min mors alder er lig med x + 20. Hvordan ved vi værdien af produktet i vores tidsalder, så:
x. (x + 20) = 525
Anvendelse på multiplikationens fordelingsegenskaber:
x2 + 20 x - 525 = 0
Vi ankommer derefter til en komplet 2. graders ligning med a = 1, b = 20 og c = - 525.
For at beregne ligningens rødder, det vil sige værdierne for x, hvor ligningen er lig med nul, lad os bruge Bhaskaras formel.
Først skal vi beregne værdien af ∆:
For at beregne rødderne bruger vi:
Ved at erstatte værdierne i formlen ovenfor finder vi ligningens rødder som denne:
Da min alder ikke kan være negativ, forakter vi værdien -35. Så resultatet er 15 år.
Øvelse 2
En firkant, repræsenteret i nedenstående figur, har en rektangulær form, og dens areal er lig med 1 350 m2. Ved at vide, at bredden svarer til 3/2 højden, skal du bestemme kvadratets dimensioner.
Opløsning
I betragtning af at dens højde er lig med x, bredden vil derefter være lig med 3 / 2x. Arealet af et rektangel beregnes ved at gange dets base med højdeværdien. I dette tilfælde har vi:
Vi ankommer til en ufuldstændig 2. graders ligning med a = 3/2, b = 0 og c = - 1350, vi kan beregne denne type ligning ved at isolere x og beregne kvadratroden.
Da værdien af x repræsenterer højdemål, vil vi se bort fra - 30. Således er rektanglets højde lig med 30 m. For at beregne bredden, lad os gange denne værdi med 3/2:
Derfor er den firkantede bredde lig med 45 m og dens højde er lig med 30 m.
Øvelse 3
Så at x = 1 er roden til ligningen 2ax2 + (2.2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, værdierne for a skal være:
a) 3 og 2
b) - 1 og 1
c) 2 og - 3
d) 0 og 2
e) - 3 og - 2
Opløsning
For at finde værdien af a, lad os først erstatte x med 1. På denne måde vil ligningen se sådan ud:
2.a.12 + (2.2 - til - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2. + 2.2 - til - 4 - 2 - til2 = 0
Det2 + til - 6 = 0
Nu skal vi beregne roden til den komplette 2. graders ligning, for at vi bruger Bhaskaras formel.
Derfor er det korrekte alternativ bogstav C.
Konkurrencespørgsmål
1) Epcar - 2017
Overvej, i ℝ, ligningen (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 i variabel x, hvor m er et reelt tal andet end - 2.
Gennemgå udsagnene nedenfor, og bedøm dem som V (SAND) eller F (FALSK).
() For alle m> 2 har ligningen et tomt opløsningssæt.
() Der er to reelle værdier på m for ligningen at tillade lige rødder.
() I ligningen, hvis ∆> 0, kan m kun antage positive værdier.
Den korrekte rækkefølge er
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Lad os se på hvert af udsagnene:
For alle m> 2 har ligningen et tomt opløsningssæt
Da ligningen er af anden grad i ℝ, vil den ikke have en løsning, når deltaet er mindre end nul. Vi beregner denne værdi:
Så den første erklæring er sand.
Der er to reelle værdier på m for ligningen at tillade lige rødder.
Ligningen vil have lige reelle rødder, når Δ = 0, det vil sige:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Påstanden er derfor falsk, da der kun er en værdi af m, hvor rødderne er ægte og lige.
I ligningen, hvis ∆> 0, kan m kun tage positive værdier.
For Δ> 0 har vi:
Da der i sættet med uendelige reelle tal er negative tal mindre end 2, er udsagnet også forkert.
Alternativ d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura er nødt til at løse en 2. graders ligning i "hjemmet", men indser, at når hun kopierede fra tavlen til den bærbare computer, glemte hun at kopiere koefficienten x. For at løse ligningen registrerede han det som følger: 4x2 + økse + 9 = 0. Da hun vidste, at ligningen kun havde en løsning, og denne var positiv, var hun i stand til at bestemme værdien af a, hvilket er
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
Når en ligning af 2. grad har en enkelt løsning, er deltaet fra Bhaskara's formel lig med nul. Så for at finde værdien af Det, bare beregn deltaet, svarende til dets værdi til nul.
Så hvis a = 12 eller a = - 12, vil ligningen kun have en rod. Vi skal dog stadig kontrollere, hvilke af værdierne Det resultatet vil være en positiv rod.
Lad os derfor finde roden til værdierne for Det.
Så for a = -12 vil ligningen kun have en rod og positiv.
Alternativ b: -12
3) Enem - 2016
En tunnel skal forsegles med et betondæksel. Tunnelens tværsnit og betondækslet har konturerne af en parabelbue og de samme dimensioner. For at bestemme omkostningerne ved arbejdet skal en ingeniør beregne arealet under den pågældende parabolbue. Ved hjælp af den vandrette akse på jordoverfladen og parabolens symmetriakse som den lodrette akse opnåede han følgende ligning for parabolen:
y = 9 - x2, hvor x og y måles i meter.
Det er kendt, at området under en parabel som denne er lig med 2/3 af arealet af rektanglet, hvis dimensioner er henholdsvis lig med bunden og højden af tunnelindgangen.
Hvad er arealet på forsiden af betondækslet i kvadratmeter?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
For at løse dette problem skal vi finde målingerne af bunden og højden af tunnelindgangen som problemet fortæller os, at frontens areal er lig med 2/3 af arealet af rektanglet med disse dimensioner.
Disse værdier findes fra 2. grads ligning. Parabolen i denne ligning har konkaviteten skruet ned, fordi koefficienten Det er negativ. Nedenfor er en oversigt over denne lignelse.
Fra grafen kan vi se, at målingen af tunnelens bund vil blive fundet ved at beregne ligningens rødder. Allerede dets højde vil være lig med målepunktet på toppunktet.
For at beregne rødderne observerer vi, at ligningen 9 - x2 er ufuldstændig, så vi kan finde dens rødder ved at ligne ligningen til nul og isolere x:
Derfor vil målingen af tunnelbunden være lig med 6 m, dvs. afstanden mellem de to rødder (-3 og 3).
Når man ser på grafen, ser vi, at toppunktet svarer til værdien på y-aksen, at x er lig med nul, så vi har:
Nu hvor vi kender målingerne af tunnelens base og højde, kan vi beregne dens areal:
Alternativ c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
For hvilken værdi af "a" har ligningen (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 har to rødder og lige?
til 1
b) 0
c) 1
d) 2
For at en 2. graders ligning skal have to lige store rødder, er det nødvendigt, at Δ = 0, dvs. b2-4ac = 0. Før vi beregner deltaet, skal vi skrive ligningen i form ax2 + bx + c = 0.
Vi kan starte med at anvende den distribuerende ejendom. Vi bemærker dog, at (x - 2) gentages i begge termer, så lad os sætte det som bevis:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Nu distribuerer vi produktet:
økse2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Beregning af Δ og lig med nul finder vi:
Så når a = 1, vil ligningen have to lige rødder.
Alternativ c: 1
For at lære mere, se også:
- Andegradsligning
- Første grad ligning
- Kvadratisk funktion
- Kvadratisk funktion - Øvelser
- Lineær funktion
- Relaterede funktionsøvelser
