Lighed med trekanter: Kommenterede og løste øvelser

DET trekantlignende bruges til at finde det ukendte mål for en trekant ved at kende målingerne for en anden trekant.

Når to trekanter er ens, er målingerne af deres tilsvarende sider proportionale. Dette forhold bruges til at løse mange geometri problemer.

Så udnyt de kommenterede og løste øvelser for at løse al din tvivl.

Problemer løst

1) Sømandens lærling - 2017

Se figuren nedenfor

En bygning kaster en 30 m lang skygge på jorden i samme øjeblik som en 6 m høj person kaster en 2,0 m skygge. Det kan siges, at bygningens højde er værd

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Se svar

Vi kan overveje, at bygningen, dens projicerede skygge og solstrålen danner en trekant. På samme måde har vi også en trekant dannet af personen, hans skygge og solens stråle.

I betragtning af at solens stråler er parallelle, og at vinklen mellem bygningen og jorden og personen er jorden er lig med 90º, trekanterne, der er angivet i nedenstående figur, er ens (to vinkler lige med).

Da trekanterne er ens, kan vi skrive følgende forhold:

Alternativ: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

I figuren har rektangel ABCD sider af længden AB = 4 og BC = 2. Lad M være midtpunktet på siden og N midtpunktet på siden . Segmenterne aflytte segmentet ved henholdsvis punkt E og F.

Arealet af trekanten AEF er lig med

Se svar

Området med trekant AEF kan findes ved at formindske arealet af trekanten ABE fra området med trekanten AFB, som vist nedenfor:

Lad os starte med at finde området for AFB-trekanten. Til dette skal vi finde ud af højdeværdien af ​​denne trekant, da basisværdien er kendt (AB = 4).

Bemærk, at trekanterne AFB og CFN er ens, idet de har to lige store vinkler (tilfælde AA), som vist i nedenstående figur:

Lad os plotte højden H₁, i forhold til side AB, i trekant AFB. Da målingen på side CB er lig med 2, kan vi overveje, at den relative højde af side NC i trekanten FNC er lig med 2 - H₁.

Vi kan derefter skrive følgende forhold:

Når vi kender højden på trekanten, kan vi beregne dens areal:

For at finde arealet af trekanten ABE skal du også beregne dens højdeværdi. Til dette vil vi bruge det faktum, at ABM- og AOE-trekanterne, der er angivet i nedenstående figur, er ens.

Desuden er trekant OEB en ret trekant, og de to andre vinkler er ens (45º), så det er en ligebenet trekant. Således er de to ben i denne trekant H værd₂, som billedet nedenfor:

Således er siden AO af trekanten AOE lig med 4 - H_2. Baseret på disse oplysninger kan vi angive følgende forhold:

Når vi kender højdeværdien, kan vi nu beregne arealet af trekanten ABE:

Arealet af trekanten AFE vil således være lig med:

Alternativ: d)

3) Cefet / MG - 2015

Følgende illustration repræsenterer et rektangulært poolbord med en bredde og længde svarende til henholdsvis 1,5 og 2,0 m. En spiller skal kaste den hvide kugle fra punkt B og ramme den sorte kugle ved punkt P uden først at ramme nogen af ​​de andre. Da den gule er ved punkt A, kaster denne spiller den hvide kugle til punkt L, så den kan hoppe og kollidere med den sorte.

Hvis vinklen på boldens indfaldsvinkel på siden af ​​bordet og den hoppende vinkel er ens, som vist på figuren, er afstanden fra P til Q, i cm, ca.

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Se svar

Trekanterne, der er markeret med rødt i billedet nedenfor, er ens, da de har to lige vinkler (vinkel lig med α og vinkel lig med 90º).

Derfor kan vi skrive følgende andel:

Alternativ: a) 67

4) Military College / RJ - 2015

I en trekant ABC hører punkterne D og E henholdsvis til siderne AB og AC og er således, at DE / / BC. Hvis F er et punkt af AB således, at EF / / CD og målingerne af AF og FD e er henholdsvis 4 og 6, er målingen af ​​segmentet DB:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Se svar

Vi kan repræsentere trekanten ABC, som vist nedenfor:

Da segmentet DE er parallel med BC, er trekanterne ADE og ABC ens, idet deres vinkler er kongruente.

Vi kan derefter skrive følgende forhold:

Trekanter FED og DBC er også ens, da segmenterne FE og DC er parallelle. Følgende andel er således også sand:

Isolering af y i denne andel har vi:

Udskiftning af y-værdien i den første ligestilling:

Alternativ: a) 15

5) Epcar - 2016

Et land i form af en højre trekant vil blive opdelt i to partier af et hegn lavet på halvdelen af ​​hypotenusen, som vist i figuren.

Det er kendt, at siderne AB og BC af dette terræn måler henholdsvis 80 m og 100 m. Således er forholdet mellem omkredsen af ​​parti I og omkredsen af ​​parti II i den rækkefølge

Se svar

For at finde ud af forholdet mellem omkredse skal vi kende værdien af ​​alle sider af figur I og figur II.

Bemærk, at halveringens halvering deler BC-siden i to kongruente segmenter, så CM- og MB-segmenterne måler 50 m.

Da trekanten ABC er et rektangel, kan vi beregne siden AC ved hjælp af Pythagoras sætning. Bemærk dog, at denne trekant er en pythagoransk trekant.

Således er hypotenusen lig med 100 (5. 20) og et to ben svarende til 80 (4.20), så kan det andet ben kun være lig med 60 (3.20).

Vi identificerede også, at trekanter ABC og MBP er ens (sag AA), da de har en fælles vinkel og den anden er lig med 90 °.

Så for at finde værdien af ​​x kan vi skrive følgende forhold:

Værdien af ​​z kan findes i betragtning af andelen:

Vi kan også finde værdien af ​​y ved at gøre:

Nu hvor vi kender alle siderne, kan vi beregne omkredsen.

Perimeter af figur I:

Omkreds af figur II:

Derfor vil forholdet mellem omkredsen være lig med:

Alternativ: d)

6) Enem - 2013

Ejeren af ​​en gård ønsker at sætte en støttestang for bedre at sikre to stolper med længder lig med 6 m og 4 m. Figuren repræsenterer den reelle situation, hvor stolperne er beskrevet af segmenterne AC og BD og stangen er repræsenteret af EF-segmentet, alt vinkelret på jorden, hvilket er angivet med det lige linjesegment AB. Segmenterne AD og BC repræsenterer stålkabler, der skal installeres.

Hvad skal værdien af ​​stanglængden EF være?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Se svar

Lad os kalde stængelhøjden for at løse problemet z og målingerne af AF og FB segmenterne af x og yhenholdsvis som vist nedenfor:

Trekant ADB svarer til trekant AEF, idet begge har en vinkel lig med 90 ° og en fælles vinkel, så de er ens i tilfældet AA.

Derfor kan vi skrive følgende andel:

Ved at multiplicere "i et kryds" får vi ligestillingen:

6x = h (x + y) (I)

På den anden side vil trekanterne ACB og FEB også være ens af de samme grunde, der er præsenteret ovenfor. Så vi har andelen:

Løsning på samme måde:

4y = h (x + y) (II)

Bemærk, at ligninger (I) og (II) har samme udtryk efter ligetegnet, så vi kan sige, at:

6x = 4 år

Udskiftning af værdien af ​​x i den anden ligning:

Alternativ: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

På figuren er trekanten ABC rektangulær med siderne BC = 3 og AB = 4. Desuden hører punkt D til kravebenet. , punktet E, der tilhører kravebenet og punkt F hører til hypotenusen , således at DECF er et parallelogram. hvis , så området af DECF parallelogram er værd

Se svar

Parallellogramområdet findes ved at multiplicere basisværdien med højden. Lad os kalde h højden og x grundmål, som vist nedenfor:

Da DECF er et parallelogram, er siderne parallelle to og to. På denne måde er siderne AC og DE parallelle. Så vinklerne de er ens.

Vi kan derefter identificere, at trekanter ABC og DBE er ens (tilfælde AA). Vi har også, at hypotenusen i trekanten ABC er lig med 5 (trekant 3,4 og 5).

Lad os på denne måde skrive følgende forhold:

For at finde måling x af basen vil vi overveje følgende forhold:

Beregning af parallelogramarealet har vi:

Alternativ: a)