Summen af interne og eksterne vinkler af en konveks polygon

Du konvekse polygoner er dem, der ikke har nogen konkavitet. For at se om en polygon er konveks eller ej, skal vi bemærke, at ethvert lige linjesegment med ender i figuren ikke passerer gennem det ydre område.

I konvekse polygoner er der formler, der giver dig mulighed for at bestemme summen af de interne og eksterne vinkler. Tjek!

Summen af de indvendige vinkler af en konveks polygon

Formlen til summen af de indvendige vinkler af en konveks polygon med n sider er:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demonstration:

Hvis vi ser, vil vi se, at hver konveks polygon kan opdeles i et bestemt antal trekanter. Se nogle eksempler:

Så husk at summen af de indre vinkler i en trekant er altid lig med 180 °, kan vi se, at summen af de indre vinkler i disse figurer ovenfor vil blive givet af antallet af trekanter, som figuren kunne opdeles gange 180 °:

firkantet: 2 trekanter ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentagon: 3 trekanter ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Sekskant: 4 trekanter ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Så for at få en formel til beregning af summen af de indvendige vinkler af en konveks polygon, skal vi bare vide, generelt set, hvor mange trekanter en konveks polygon kan opdeles i.

instagram story viewer

Hvis vi observerer, er der et forhold mellem denne størrelse og antallet af sider på figurerne. Antallet af trekanter er lig med antallet af sider af figuren minus 2, det vil sige:

$\ dpi {120} \ mathrm {Total \, af \, tri \ hat {a} vinkler = n - 2}$

Firkant: 4 sider ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentagon: 5 sider ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Sekskant: 6 sider ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Så generelt er summen af de interne vinkler af en konveks polygon givet ved: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Hvilken er den formel, vi ønskede at demonstrere.

Eksempel:

Find summen af de indvendige vinkler på en konveks icosagon.

En ikosagon er en 20-sidet polygon, det vil sige n = 20. Lad os erstatte denne værdi i formlen:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Derfor er summen af de indvendige vinkler af en konveks icosagon lig med 3240 °.

Summen af en polygons udvendige vinkler

DET summen af de udvendige vinkler af en konveks polygon er altid lig med 360 °, dvs.

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demonstration:

Tjek nogle gratis kurser

Gratis online inkluderende uddannelseskursus
Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
Gratis online matematik-spilkursus i tidlig barndomsundervisning
Gratis online pædagogisk kulturel workshops

Vi vil med eksempler demonstrere, at summen af de udvendige vinkler af en konveks polygon ikke afhænger af antallet af sider af figuren og altid er lig med 360 °.

Firkantet:

firkantet Bemærk, at hver indre vinkel danner en 180 ° vinkel med den ydre vinkel. Da der er fire hjørner, er summen af alle vinkler givet med 4. 180° = 720°.

Dvs. $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Snart:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Enkelt gang $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , derefter:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagon:

I femkanten har vi 5 hjørner, så summen af alle vinkler er givet med 5. 180° = 900°. Snart: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Derefter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Enkelt gang $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , derefter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Sekskant:

I sekskanten har vi 6 hjørner, så summen af alle vinkler er givet med 6. 180° = 1080°. Snart: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Derefter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Enkelt gang $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , derefter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Som du kan se, i alle tre eksempler, er summen af de udvendige vinkler, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ resulterede i 360 °.

Eksempel:

Summen af en polygons indvendige og udvendige vinkler er lig med 1800 °. Hvad er denne polygon?

Vi har: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . At vide det i enhver polygon $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , så har vi: