Vinkel mellem to vektorer

I matematik eller fysik er vektorer de er lige segmenter med retning, retning og længde, som bruges til at repræsentere størrelser som kraft, hastighed og acceleration.

Vektorer angiver baner og kan defineres ved hjælp af et koordinatsystem (x, y). Når man betragter punktet (0,0) som segmentets oprindelse, viser nedenstående figur en vektor $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ hvis ende er pointen $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Notation: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

den ordinerede $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ kaldes den vandrette komponent og abscissen $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ af lodret komponent.

Overvej nu ud over vektoren $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , en anden vektor $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ og en vinkel dannet mellem dem, som vist i nedenstående figur.

Denne vinkel mellem vektorerne kan beregnes ved hjælp af en formel, der involverer punktproduktet mellem vektorerne og normen (længden) for hver vektor.

Vinkel mellem to vektorer

To vektor terninger $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ og $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , vinkelens cosinus $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ blandt dem er relateret til det interne produkt mellem vektorerne og deres standarder som følger:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ venstre \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ højre \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Tælleren af fraktionen er det indre produkt mellem vektorerne, givet af:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

Og nævneren er produktet mellem standarderne for hver af vektorerne som følger:

instagram story viewer

Tjek nogle gratis kurser

Gratis online inkluderende uddannelseskursus
Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
Gratis online matematik-spilkursus i tidlig barndomsundervisning
Gratis online pædagogisk kulturel workshops

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Ved at foretage udskiftningen bekræftede vi, at vinkelformel mellem to vektorer é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Eksempel:

Beregn vinklen mellem vektorerne $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ og $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Anvendelse af værdierne i formlen skal vi:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

Brug af en lommeregner eller en trigonometrisk tabel, kan vi se, at:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}$

Du kan også være interesseret:

Buer med mere end en tur
Buer og cirkulær bevægelse
trigonometrisk cirkel
køretøjets hastighed

Adgangskoden er sendt til din e-mail.

Vinkel mellem to vektorer

Vinkel mellem to vektorer

Geologi og anvendelser af kvartsitsten

Hvordan man laver en god tekst

Kompleks nummeropdeling