Mersenne, primtal og perfekte tal

Vi siger, at et naturligt tal er perfekt, hvis det er lig summen af ​​alle dets faktorer (divisorer) eksklusive sig selv. For eksempel er 6 og 28 perfekte tal, se:
6 = 1 + 2 + 3 (faktorer 6: 1, 2, 3 og 6), vi udelukker tallet 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (faktorer 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), vi udelukker 28.
Mersennetal er dem i form Mn = 2n - 1. Han troede endda, at dette udtryk ville være i stand til at beregne mulige primtal i betragtning af n = primtal, men senere viste det sig, at han næsten havde ret. For eksempel:
M₁ = 2¹ – 1 = 1
M₂ = 2² - 1 = 3 → n = 2 (fætter), M₂ = 3 (fætter)
M₃ = 2³ - 1 = 7 → n = 3 (fætter), M₃ = 7 (fætter)
M₄ = 2⁴ – 1 = 15
M₅ = 2⁵ - 1 = 31 → n = 5 (fætter), M₅ = 31 (fætter)
M₆ = 2⁶ – 1 = 63
M₇ = 2⁷ - 1 = 127 → n = 7 (fætter), M₇ = 127 (fætter)
M₈ = 2⁸ – 1 = 255
M₉ = 2⁹ – 1 = 511
M₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 → n = 11 (fætter), M₁₁ = 2047 (ikke prime)
M₁₃ = 2¹³ - 1 = 8191 → n = 13 (fætter), M₁₃ = 8191 (fætter)
Inden for rækkefølgen af ​​primtal er der elementer, der anvendes i Mersenne-formlen ikke genererer primære elementer, for eksempel tallet 11, når det blev anvendt på formlen resulterede i 2047, et tal ikke fætter.

Kendskabet til perfekte tal tilskrives Euclid, den berømte græske matematiker, der grundlagde geometri. Den metode, han bruger, starter med 1 at tilføje kræfter på 2 til en prime. Et perfekt tal opnås derefter ved at multiplicere summen med den sidste styrke på 2.

Bemærk forholdet mellem det perfekte tal og Mersennes primtal.

af Mark Noah
Uddannet i matematik
Brazil School Team

Numeriske sæt - Matematik - Brasilien skole

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm