Undersøgelsen om numeriske sæt udgør et af matematikkens hovedområder, da de er meget vigtige for den teoretiske udvikling af området og har flere praktiske anvendelser. Numeriske sæt omfatter i studiet:
- naturlige tal;
- heltal;
- rationelle tal;
- irrationelle tal
- reelle tal; og
- komplekse tal.
Læs mere: Primtal - tal, der kun har 1 og sig selv som delere
Sæt med naturlige tal
Udviklingen af de første civilisationer medførte forbedring af landbrug og handel og følgelig ved hjælp af tal til at repræsentere mængder. Det første sæt kom naturligt, deraf navnet. Det naturlige navngivne sæt bruges til at repræsentere mængder, det betegnes med symbol ℕ og er skrevet i rækkefølge. Se:
O sæt tal naturaer é uendelig og lukket til drift af tilføjelse og multiplikation, det vil sige, når vi tilføjer eller multiplicerer to naturlige tal, er svaret stadig naturligt. Dog til subtraktion og division, sættet er ikke lukket. Se:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Bemærk, at tallene –1 og 0,5 de tilhører ikke det naturlige sæt, og dette er berettigelsen til oprettelsen og studiet af nye sæt tal.
Også ved at placere en stjerne (*) i symbolet for det naturlige sæt skal vi fjerne tallet nul fra listen, se:
hele tal indstillet
Hele antallet af sæt kom op med behov for at udføre driften af subtraktion ingen begrænsninger. Som vi har set, når et mindre antal trækkes fra et større, hører svaret ikke til gruppen af naturlige.
Sættet af heltal er også repræsenteret af en uendelig numerisk sekvens og betegnes med symbol ℤ.
Som ved sæt af naturlige tal fjernes elementet nul fra sættet ved at placere en stjerne i symbolet ℤ:
Symbolet (-), der ledsager et tal, angiver, at det er symmetrisk, så det symmetriske for tallet 4 er tallet –4. Bemærk også, at sættet med naturlige tal er indeholdt i sættet af heltal, det vil sige, at sættet med naturlige tal er en delmængde af sættet af heltal.
ℕ ⸦ ℤ
Læs også: Operationer med heltal - hvad er de, og hvordan beregner man dem?
sæt rationelle tal
O sæt rationelle tal é repræsenteret af symbolet ℚ og er ikke repræsenteret af en numerisk sekvens. Dette sæt består af alle de numre, der kan repræsenteres som en brøkdel. Vi repræsenterer dets elementer som følger:
Vi ved, at hvert heltal kan repræsenteres af a brøkdel, det vil sige, at antallet af heltal er indeholdt i det af rationelle tal, så, sæt af heltal er en delmængde af rationelle.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Tal, der har uendelig repræsentation, såsom periodiske tiende, har også repræsentation i form af en brøkdel, så de er også rationelle.
Læs også: Operationer med brøker - trin for trin hvordan man løser dem
Sæt med irrationelle tal
Som vi har set, er et tal rationelt, hvis det kan skrives som en brøkdel. Det er også blevet sagt, at uendelige og periodiske tal er rationelle, men der er nogle tal, der kan ikke skrives i form af en brøkdel og som derfor ikke hører til sættet med rationelle tal.
Disse ikke-rationelle tal kaldes irrationel og dets vigtigste egenskaber er uendelighed af decimaldelen og ikke-frekvens, det vil sige, intet tal i decimaldelen gentages. Se nogle eksempler på irrationelle tal.
- Eksempel 1
Kvadratrødderne af tal, der ikke er perfekte firkanter.
- Eksempel 2
Konstanter, der kommer fra særlige grunde som guldnummer, Euler-nummer eller Pi.
Sæt med reelle tal
O sæt reelle tal er repræsenteret af symbolet ℝ og er dannet af enhedaf sættet med rationelle tal med sættet med irrationelle tal. Husk, at rationalsættet er foreningen af naturlige og heltalssæt.
Når vi arrangerer de reelle tal på en linje, har vi, at tallet nul er linjens oprindelse, til højre for nul vil de positive tal være og til venstre de negative tal.
Da denne akse er reel, kan vi sige, at mellem to tal er der uendelige tal, og også at denne akse er uendelig både i positiv retning når i negativ retning.
Sæt med komplekse tal
O komplekse tal sæt Det er sidst og det opstod af samme grund som heltalssættet, det vil sige, det er en operation, hvis udvikling kun med sættet af realer ikke er mulig.
Løs følgende ligning, se at den ikke har nogen løsning, idet du kun kender de reelle tal.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Bemærk, at vi skal finde et tal, der når ophøjedO i kvadrat, resulterer i et negativt tal. Vi ved det et vilkårligt tal er altid positivtderfor har denne beregning ingen reel løsning.
Således blev de komplekse tal skabt, hvor vi har en imaginært nummer betegnet med jeg, som har følgende værdi:
Så indse, at ligning at der tidligere ikke havde nogen løsning nu. Tjek:
Læs mere: Egenskaber, der involverer komplekse tal
faktiske intervaller
I nogle tilfælde bruger vi ikke alle reelle akser, det vil sige, vi bruger dele af den, der kaldes pauser. Disse intervaller er delmængder af sættet med reelle tal. Dernæst opretter vi nogle notationer for disse undergrupper.
Lukket rækkevidde - uden ekstremiteter
Et interval lukkes, når det har sine to ekstremer, dvs. minimum og maksimum, og i dette tilfælde ekstremer hører ikke hjemme i området. Vi angiver dette ved hjælp af en åben kugle. Se:
I rødt er de tal, der hører til dette interval, det vil sige de er tal større end a og mindre end b. Algebraisk skriver vi et sådant interval som følger:
< x
Hvor tallet x er alle de reelle tal, der er i dette interval. Vi kan også repræsentere det symbolsk. Se:
]Det; B [ eller (Det; B)
Lukket rækkevidde - inklusive ekstremer
Lad os nu bruge lukkede kugler til at repræsentere det ekstremerne hører til området.
Så vi samler reelle tal mellem a og b, inklusive dem. Algebraisk udtrykker vi et sådant interval ved:
den ≤ xb
Ved hjælp af symbolsk notation har vi:
[Det; B]
Lukket rækkevidde - inklusive en af ekstremerne
Der er stadig tilfældet med lukkede intervaller, hvor kun en af ekstremerne er inkluderet. Derfor lukkes et af kuglerne, hvilket indikerer, at antallet hører til området, og det andet ikke, hvilket indikerer, at antallet ikke hører til det område.
Algebraisk repræsenterer vi dette interval som følger:
den ≤ x
Symbolisk har vi:
[Det; B [ eller [Det; B)
Åben rækkevidde - ingen ende inkluderet
Der åbnes et interval, når har ikke et maksimum eller et minimum element. Nu ser vi et åbent rækkevidde, der kun har maksimalt element, som ikke er inkluderet i området.
Se, at sortimentet består af reelle tal mindre endB, og bemærk også, at antallet b, der ikke hører til området (åben kugle), så algebraisk kan vi repræsentere intervallet ved:
x
Symbolsk kan vi repræsentere det ved:
] – ∞; B [ eller (– ∞; B)
Åben rækkevidde - inklusive det ekstreme
Et andet eksempel på et åbent interval er tilfældet, hvor det ekstreme er inkluderet. Her har vi et interval, hvor minimumselementet vises, se:
Bemærk, at alle reelle tal er større end eller lig med tallet a, så vi kan skrive dette interval algebraisk ved:
xtil
Symbolisk har vi:
[Det; +∞[ eller [Det; +∞)
åbent interval
Et andet tilfælde af åben rækkevidde er dannet af tal større og mindre end de numre, der er fastgjort på den rigtige linje. Se:
Bemærk, at de reelle tal, der hører til dette interval, er dem, der er mindre end eller lig med tallet a, eller dem der er større end antallet b, så vi bliver nødt til at:
x til ellerx > b
Symbolisk har vi:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
eller
(– ∞; a] U (b; + ∞)
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
