Aritmetisk progression: hvad det er, udtryk, eksempler

DET aritmetisk progression (AP) er numerisk rækkefølge som vi bruger til at beskrive adfærden for visse fænomener i matematik. I en PA er den vækst eller forfald er altid konstant, det vil sige fra et udtryk til et andet, forskellen vil altid være den samme, og denne forskel er kendt som grund.

Som et resultat af forudsigelig opførsel af en progression, kan du beskrive det ud fra en formel kendt som generel betegnelse. Af samme grund er det også muligt at beregne summen af ​​vilkårene for en PA ved hjælp af en bestemt formel.

Læs også: Geometrisk progression - hvordan man beregner?

Hvad er en PA?

Forståelse for, at en PA er en række ord, hvor forskellen mellem et udtryk og dets tidligere er altid konstant, for at beskrive denne progression fra en formel, er vi nødt til at finde det indledende udtryk, eller det vil sige den første term for en progression og dens årsag, som er denne konstante forskel mellem vilkår.

Generelt er PA skrevet som følger:

(Det₁, a₂,Det₃, a₄,Det₅, a₆,Det₇, a₈)

Den første periode er a₁ og fra det til tilføje grunden r, lad os finde efterfølgerbetingelserne.

Det₁ + r = a₂
Det₂ + r = a₃
Det₃ + r = a₄

...

Så for at skrive den aritmetiske progression er vi nødt til at vide, hvem der er dens første periode, og hvorfor.

Eksempel:

Lad os skrive de første seks termer i en AP, idet vi ved, at dens første periode er 4, og dens forhold er lig med 2. at kende₁ = 4 og r = 2, konkluderer vi, at denne progression starter ved 4 og stiger fra 2 til 2. Derfor kan vi beskrive dets vilkår.

Det₁ = 4

Det₂ = 4+ 2 = 6

Det₃ = 6 + 2 = 8

Det₄ = 8 + 2 = 10

Det₅= 10 + 2 = 12

Det₆ = 12 + 2 =14

Denne BP er lig med (4,6,8,10,12,14…).

Generel periode for en PA

At beskrive PA fra en formel gør det let for os at finde nogen af ​​dens vilkår. For at finde et vilkår for et AP bruger vi følgende formel:

Detingen= a1 + r · (n-1)

N → er udtrykets position;

Det₁→ er det første udtryk;

r → grund.

Eksempel:

Find det PA's generelle betegnelse (1,5,9,13,…) og 5., 10. og 23. valgperiode.

1. trin: finde årsagen.

For at finde forholdet skal du blot beregne forskellen mellem to på hinanden følgende termer: 5 - 1 = 4; derefter, i dette tilfælde, r = 4.

2. trin: find det generelle udtryk.

Hvordan ved vi, at₁= 1 og r = 4, lad os erstatte formlen.

Det_ingen= a₁ + r (n - 1)

Det_ingen= 1 + 4 (n - 1)

Det_ingen= 1 + 4n - 4

Det_ingen= 4n - 3 → generel betegnelse for PA

3. trin: kende det generelle udtryk, lad os beregne 5., 10. og 23. termin.

5. periode → n = 5
Det_ingen= 4n - 3
Det₅=4·5 – 3
Det₅=20 – 3
Det₅=17

10. sigt → n = 10
Det_ingen= 4n - 3
Det₁₀=4·10 – 3
Det₁₀=40 – 3
Det₁₀=37

23. valgperiode → n = 23
Det_ingen= 4n - 3
Det₂₃=4·23 – 3
Det₂₃=92 – 3
Det₂₃=89

Typer af aritmetiske progressioner

Der er tre muligheder for en PA. Det kan være stigende, faldende eller konstant.

• Voksende

Som navnet antyder, stiger en aritmetisk progression, når, når vilkårene stiger, øges deres værdi også., det vil sige, det andet udtryk er større end det første, det tredje er større end det andet osv.

Det₁ 2 3 4 < …. ingen

For at dette kan ske, skal forholdet være positivt, dvs. en PA stiger, hvis r> 0.

Eksempler:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• aftagende

Som navnet antyder, falder en aritmetisk progression, når, når vilkårene stiger, falder deres værdidet vil sige det andet udtryk er mindre end det første, det tredje er mindre end det andet osv.

Det₁ > den₂ > den₃ > den₄ > …. > den_ingen

For at dette kan ske, skal forholdet være negativt, dvs. en PA stiger, hvis r <0.

Eksempler:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• Konstant

En aritmetisk progression er konstant, når, når vilkårene stiger, forbliver værdien den samme., det vil sige, det første udtryk er lig med det andet, hvilket er lig med det tredje osv.

Det₁ = den₂ = den₃ = den₄ = …. = a_ingen

For at en PA skal være konstant, skal forholdet være lig med nul, det vil sige r = 0.

Eksempler:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

Se også: Produkt af vilkårene for en PG - hvad er formlen?

Egenskaber ved en PA

• 1. ejendom

Givet enhver periode af en PA, er gennemsnit aritmetik mellem dens efterfølger og forgænger er lig med det udtryk.

Eksempel:

Overvej progressionen (-1, 2, 5, 8, 11) og udtrykket 8. Gennemsnittet mellem 11 og 5 er lig med 8, dvs. summen af ​​efterfølgeren med forgængeren af ​​et tal i PA er altid lig med dette tal.

• 2. ejendom

Summen af ​​ækvidistante udtryk er altid lig.

Eksempel:

Summen af ​​vilkårene for en PA

Antag, at vi vil tilføje de seks BP-termer, der er vist ovenfor: (16,13,10,7,4,1). Vi kan simpelthen tilføje deres vilkår - i hvilket tilfælde der er få vilkår, er det muligt - men hvis det er tilfældet en længere streng, skal du bruge egenskaben. Vi ved, at summen af ​​ækvivalente termer altid er lig, som vi så i ejendommen, så hvis vi udfører dette tilføj en gang og gang med halvdelen af ​​vilkårene, vi har summen af ​​de første seks termer af PANDE.

Bemærk, at vi i eksemplet beregner summen af ​​det første og det sidste, der er lig med 17 ganget med halvdelen af ​​mængden af ​​udtryk, det vil sige 17 gange 3, hvilket er lig med 51.

Formlen til summen af ​​vilkårene for en PA den blev udviklet af matematikeren Gauss, der indså denne symmetri i aritmetiske fremskridt. Formlen er skrevet som følger:

s_ingen → sum af n elementer

Det₁ → første periode

Det_ingen → sidste periode

n → antal udtryk

Eksempel:

Beregn summen af ​​ulige tal fra 1 til 2000.

Løsning:

Vi ved, at denne sekvens er en PA (1,3,5,…. 1997, 1999). At udføre summen ville være ret besværlig, så formlen er ret praktisk. Fra 1 til 2000 er halvdelen af ​​numrene ulige, så der er 1000 ulige tal.

Data:

n → 1000

Det₁ → 1

Det_ingen → 1999

Også adgang: Summen af ​​en endelig PG - hvordan gør man det?

Interpolering af aritmetiske midler

At kende to ikke-sammenhængende termer af en aritmetisk progression, er det muligt at finde alle de termer, der falder mellem disse to tal, hvad vi kender som interpolering af aritmetiske midler.

Eksempel:

Lad os interpolere 5 aritmetiske midler mellem 13 og 55. Det betyder, at der er 5 tal mellem 13 og 55, og de danner en progression.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

For at finde disse tal er det nødvendigt at finde årsagen. Vi kender den første periode (₁ = 13) og også den 7. periode (₇= 55), men vi ved, at:

Det_ingen = den₁ + r · (n - 1)

Når n = 7 → a_ingen= 55. Vi kender også værdien af ​​en₁=13. Så ved at erstatte det i formlen skal vi:

55 = 13 + r · (7 - 1)

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42: 6

r = 7.

Når vi kender årsagen, kan vi finde de termer, der er mellem 13 og 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

Sekvensen fra 1 til 10 er en aritmetisk progression af forholdet 1.

løste øvelser

Spørgsmål 1 - (Enem 2012) - At spille kort er en aktivitet, der stimulerer ræsonnement. Et traditionelt spil er Solitaire, som bruger 52 kort. Oprindeligt dannes syv kolonner med kortene. Den første kolonne har et kort, den anden har to kort, den tredje har tre kort, den fjerde har fire kort og så videre successivt til den syvende kolonne, som har syv kort, og hvad der udgør bunken, som er de ubrugte kort i kolonner.

Antallet af kort, der udgør bunken, er:

A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.

Løsning

Alternativ B.

Lad os først beregne det samlede antal kort, der blev brugt. Vi arbejder med en AP, hvis første periode er 1, og forholdet også er 1. Så når man beregner summen af ​​de 7 rækker, er den sidste sigt 7 og værdien af ​​n er også 7.

Ved at vide, at det samlede antal anvendte kort var 28, og at der er 52 kort, dannes bunken af:

52 - 28 = 24 kort

Spørgsmål 2 - (Enem 2018) Rådhuset i en lille by i det indre beslutter at lægge stænger til belysning rundt om langs en lige vej, der starter ved en central firkant og ender ved en gård i området. landdistrikter. Da pladsen allerede har belysning, placeres den første pol 80 meter fra pladsen, den anden på 100 meter, den tredje på 120 meter osv. successivt altid at holde en afstand på 20 meter mellem stolperne, indtil den sidste stolpe er placeret i en afstand på 1.380 meter fra firkant.

Hvis byen maksimalt kan betale R $ 8.000,00 pr. Stilling, er det højeste beløb, du kan bruge på at placere disse indlæg:

A) 512 000,00 BRL.
B) 520.000,00 BRL.
C) R $ 528.000,00.
D) 552.000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.

Løsning

Alternativ C.

Vi ved, at stillinger placeres hver 20. meter, det vil sige r = 20, og at den første periode i denne PA er 80. Vi ved også, at den sidste periode er 1380, men vi ved ikke, hvor mange udtryk der er mellem 80 og 1380. Lad os bruge den generelle termformel for at beregne dette antal udtryk.

Data: a_ingen = 1380; Det₁=80; og r = 20.

Det_ingen= a₁ + r · (n-1)

660 stillinger placeres. Hvis hver koster maksimalt R $ 8.000, er det højeste beløb, der kan bruges til placeringen af ​​disse stillinger:

66· 8 000 = 528 000

Af Raul Rodrigues de Oliveira 

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm