Co je trigonometrie?

Trigonometrie je slovo řeckého původu, které odkazuje na míru tří úhlů. Studium v ​​této oblasti matematiky se zaměřuje na trojúhelníky, což jsou polygony, které mají tři strany a následně tři úhly. Zpočátku trigonometrie zabývá se studiem některých vlastností a vztahů pravoúhlých trojúhelníků, aby bylo možné později spojit měření stran trojúhelníků s měřením úhlů.

Tyto vlastnosti a vztahy jsou rozšířeny na libovolné trojúhelníky pomocí vět známých jako hříchový zákon a kosinový zákon. Později jsou některé z těchto výsledků pozorovány u trojúhelníků, jejichž strany jsou pozoruhodnými segmenty kruhu, který je známý jako „trigonometrický kruh“.

THE trigonometrie navrhuje velkou novinku. Před tím bylo možné uvažovat pouze o výpočtech a vlastnostech zahrnujících výlučně strany nebo výlučně úhly trojúhelníku nebo základní vztahy mezi těmito prvky. Po jeho příchodu je možné přímo spojit měření stran trojúhelníku s měřením jednoho z jeho úhlů. Je pozoruhodné, že vztahy mezi významnými stranami a segmenty uvnitř trojúhelníku také tvoří trigonometrie.

Než se ponoříme do konceptu trigonometrie, Je důležité vědět, jaké jsou nejdůležitější prvky pravého trojúhelníku. Níže jsou uvedeny tyto prvky:

Prvky pravoúhlého trojúhelníku

Každý pravý trojúhelník lze rozdělit na dva další pravé trojúhelníky, jak je znázorněno na obrázku níže, přičemž se sleduje výška „h“ vzhledem k základně „a“.

Výška tohoto pravého trojúhelníku tvoří s jeho základnou dva úhly 90 °

Vzhledem k trojúhelníku ABD, obdélníku v B je možné pozorovat následující prvky:

1 - Strany AB a BD se nazývají strany a jejich rozměry jsou c a b;

2 - Strana AD se nazývá přepona a její měření je a. Tato strana bude vždy naproti úhlu 90 °;

3 - BE je výška trojúhelníku ABD vzhledem k základně AD a jeho měření je h. (nezapomeňte, že výška vždy svírá úhel 90 ° se základnou vzhledem k ní);

4 - AE je ortogonální projekce AB nohy přes přeponu. Jeho míra je m;

5 - ED je ortogonální projekce nohy BD přes přeponu. Jeho měření je n.

Dále uvádíme a diskutujeme některé vlastnosti viděné v trigonometrii na základě prvků pravého trojúhelníku vystavených výše.

Metrické vztahy ve pravém trojúhelníku

Jsou to rovnosti, které se týkají stran, výšky a ortogonálních projekcí pravoúhlého trojúhelníku:

1) c² = průměr

2) b · c = a · h

3) h² = m · n

4) b² = ne

5)² = b² + c² (Pythagorova věta)

Trigonometrické poměry nebo poměry v pravém trojúhelníku

Tyto rovnosti vztahují poměry mezi stranami pravého trojúhelníku k jednomu z jeho ostrých úhlů. K tomu je nutné zafixovat jeden ze dvou úhlů a sledovat v pravém trojúhelníku definice opačné a sousední strany:

Obdélníkový trojúhelník se zvýrazněním úhlu α

BD je opačná noha do úhlu α;

AB je sousední noha do úhlu α.

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

Toto jsou předpoklady pro definování trigonometrické poměry. Jsou oni:

→ Sinus α

hřích α = Cathetus naproti α
Přepona

→ Kosinus α

cos α = Catheto sousedí s α
Přepona

→ Tečna α

tg α = Cathetus naproti α
Catheto sousedí s α

Tyto důvody platí pro všechny pravoúhlý trojuhelník který má ostrý úhel rovný α. Výsledek těchto dělení je vždy stejný, bez ohledu na délku strany trojúhelníku, jako dva trojúhelníky, které mají dva stejné úhly, kvůli trojúhelníková podoba úhel-úhel, mají proporcionální strany. Z toho tedy vyplývá, že poměr mezi stranami je stejný.

trigonometrický kruh

Také se nazývá trigonometrický cyklus nebo trigonometrický kruh (správnější, ale méně běžné názvy), jedná se o orientovaný kruh o poloměru 1. Na tomto obvodu a pravoúhlý trojuhelník, jehož úhel α se shoduje s počátkem, takže výška tohoto trojúhelníku jde od osy úsečky k okraji kružnice.

Tato výška se shoduje s hodnotou sinus, protože je to opačná strana než úhel α. Míra, která jde od bodu, kde se výška setkává s osou úsečky k počátku, se shoduje se stranou sousedící s úhlem α, tj. S hodnotou kosinus.

K těmto náhodám dochází, protože přepona je vždy 1, protože se jedná o poloměr kruhu. Poznamenejte si tyto vlastnosti na obrázku níže:

Kruh o poloměru 1, na kterém je umístěn pravý trojúhelník k vyhodnocení jeho vlastností

Ať už je na tomto kruhu postaven pravý trojúhelník, strana, která se shoduje s částí osy úsečky přesně měří kosinovou hodnotu α a druhá strana měří přesně sínus α.

Trigonometrické funkce

Pomocí trigonometrické kružnice je možné definovat trigonometrické funkce které vztahují každý prvek množiny reálných čísel k jednomu prvku také množiny reálných čísel. Tato čísla jsou však vyjádřena v radiánech, což je měrná jednotka jako funkce π použitá, protože po 360 ° v trigonometrický kruh, počítání stupňů a následně doménových a protidoménových prvků funkce založené na tom lze restartovat od nuly.

základní vztahy

Základní vztahy trigonometrie jsou:

1) Základní vztah 1

Sen²α + cos²α = 1

2) tečna α

tg α = hřích α
cos α

3) Kotangens z α, což je inverzní hodnota tangensu α

cotg α = cos α
hřích α

4) Secant of α, což je inverzní hodnota kosinu α

sec α = 1
cos α

5) Kosekans α, což je inverzní funkce k sinusu α

cossec α = 1
hřích α

6) Vznikající vztah 1

tg²α + 1 = sek²α

7) Vztah 2

cotg²α + 1 = cossec²α

8) Opakující se vztah 3

cotg α = 1
tg α

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku

Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. „Co je trigonometrie?“; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm. Zpřístupněno 27. června 2021.

Odvozené vztahy

funkce, trigonometrická funkce, tečna, kosinus, sinus, kosekans, kotangens, oblouk, úhly, hodnota oblouk, hodnota trigonometrické funkce, vztah mezi úhlem a trigonometrickou funkcí, vztahy deriváty.

radián

radián, úhel, stupeň, kruh, oblouk, kruhový oblouk, transformace ze stupně na radián, definice radiánu, úhlové míry, míry oblouku, obvodové délky v radiánech, délky obvod.