THE algebraická faktorizace výrazu spočívá v psaní algebraického výrazu do forma produktu. V praktických případech, tj. Při řešení některých problémů, které s sebou nesou algebraické výrazy, faktorizace je nesmírně užitečná, protože ve většině situací zjednodušuje zpracovaný výraz.
K provedení faktorizace algebraických výrazů použijeme velmi důležitý výsledek v matematice zvané základní věta o aritmetice, který uvádí, že jakékoli celé číslo větší než 1 lze zapsat jako součin prvočísla, Dívej se:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Právě jsme započítali čísla 121 a 60.
Přečtěte si také: Rozklad čísla na hlavní faktory
Metody pro faktorování algebraických výrazů
Nyní uvidíme hlavní faktorizační metody, nejpoužívanější provedeme krátké geometrické zdůvodnění. Dívej se:
Faktoring důkazů
Zvažte obdélník:
Všimněte si, že obdélník modrá plus plocha zeleného obdélníku má za následek větší obdélník. Podívejme se na každou z těchto oblastí:
THEMODRÝ = b · x
THEZELENÁ = b · y
THEVĚTŠÍ = b · (x + y)
Musíme tedy:
THEVĚTŠÍ = AMODRÝ + AZELENÁ
b (x + y) = bx + o
Příklady
The) Rozdělení výrazu: 12x + 24y.
Všimněte si, že 12 je důkazní faktor, protože se objevuje u obou balíků, takže k určení čísel, která jdou do závorek, stačí podíl každá zásilka podle důkazního faktoru.
12x: 12 = X
24y: 12 = 2r
12x + 24y = 12 · (X + 2r)
B) Faktorový výraz 21ab2 - 702B.
Stejným způsobem se zpočátku určuje důkazní faktor, tj. Faktor, který se v balících opakuje. Podívejte se, že z numerické části máme 7 jako společný faktor, protože je to ten, který rozděluje obě čísla. Nyní, pokud jde o doslovnou část, uvidíte, že se opakuje pouze faktor ab, tedy důkazní faktor je: 7ab.
21ab2 - 702b = 7ab (3b - 10The)
Přečtěte si také: Polynomiální dělení: jak na to?
Faktoring seskupením
Faktorizace seskupením je vyplývající z factoringu důkazemJediným rozdílem je, že místo monomia jako společného faktoru nebo důkazního faktoru budeme mít a polynom, viz příklad:
Zvažte výraz (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Všimněte si, že společným faktorem je dvojčlen (a + b),proto je faktorizovaná forma předchozího výrazu:
(a + b) · (Xy + wz2)
rozdíl mezi dvěma čtverci
Uvažujme dvě čísla a a b, když máme a rozdíl ze čtverce těchto čísel, tj2 - B2, abychom je mohli napsat jako součin součtu rozdílu, tj:
The2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Příklady
The) Pro faktorování výrazu x2 - y2.
Můžeme použít rozdíl mezi dvěma čtverci, takže:
X2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) Faktor 20202 – 2.0192.
Můžeme použít rozdíl mezi dvěma čtverci, takže:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomial dokonalého čtverce
Vezměte další čtverec ze strany (a + b) a všimněte si ploch čtverců a obdélníků vytvořených uvnitř.
Podívejte se na oblast náměstí větší je dáno (a + b)2, ale na druhou stranu lze plochu největšího čtverce získat přidáním čtverců a obdélníků uvnitř, například takto:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Podobně musíme:
(a - b)2 =2 - 2ab + b2
Příklad
Zvažte výraz x2 + 12x + 36.
Chcete-li zohlednit výraz tohoto typu, stačí identifikovat koeficient proměnné x a nezávislý koeficient a porovnat s daným vzorcem, viz:
X2 + 12x + 36
The2 + 2ab + b2
Při srovnání zjistíme, že x = a, 2b = 12 a b2 = 36; rovností máme b = 6, takže faktorovaný výraz je:
X2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Střední škola trinomiální
Vezměme si trinomiální sekeru2 + bx + c. Jeho faktorizovaný tvar lze najít pomocí vaše kořeny, tj. hodnoty x, které tento výraz vynulovaly. Chcete-li určit hodnoty, díky nimž je tento výraz nulový, stačí vyřešit rovnici ax2 + bx + c = 0 pomocí jakékoli vhodné metody. Zde zdůrazňujeme nejznámější metodu: Bhaskarova metoda.
Zapracovaná forma sekery trinomiální2 + bx + c je:
sekera2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Příklad
Zvažte výraz x2 + x - 20.
Prvním krokem je určení kořenů rovnice x.2 + x - 20 = 0.
Takže zapracovaná forma výrazu x2 + x - 20 je:
(x - 4) · (x + 5)
Krychle rozdílu mezi dvěma čísly
Krychle rozdílu mezi dvěma čísly aab je dána vztahem:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Krychle součtu dvou čísel
Podobně to máme (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , již brzy:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (Cefet-MG) Kde je číslo n = 6842 – 6832, součet číslic n je:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Řešení
Alternativní d. Abychom určili součet číslic n, nejprve zohledníme výraz, protože výpočet čtverců a poté odečtení je zbytečná práce. Faktorování výrazu pomocí rozdílu mezi dvěma čtverci máme:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1367,1
n = 1367
Součet číslic n je tedy dán 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Otázka 2 - (Modified Insper-SP) Určete hodnotu výrazu:
Řešení
Abychom usnadnili notaci, pojmenujme a = 2009 ab = 2. pamatujte, že 22 = 4, takže musíme:
Všimněte si, že v čitateli zlomku máme rozdíl mezi dvěma čtverci, takže můžeme napsat2 - B2 = (a + b) (a - b). Již brzy:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
