Ó Vennův diagram, také známý jako Venn-Eulerův diagram, je a způsob, jak vytvořit graf množiny, k tomu používáme uzavřenou linii, která nemá vlastní průnik a reprezentujeme prvky množiny uvnitř této linie. Myšlenka diagramu je usnadnit porozumění v základní množinové operace, jako například: vztah začlenění a sounáležitosti, sjednocení a průnik, rozdíl a doplňková množina.
Přečtěte si také: Operace mezi celými čísly: znát vlastnosti
Vennův diagram
Jak je znázorněno, Vennův diagram se skládá z uzavřené (neprotínající se) čáry, na kterou „umístíme“ prvky dané množiny, abychom mohli představují jednu nebo několik sad zároveň. Podívejte se na příklady:
• Jedna sada
Můžeme vás zastupovat pomocí jediná uzavřená linka, například, pojďme reprezentovat množinu A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Mezi dvěma sadami
Musíme udělat dva grafy, jako je ten pro reprezentaci jedné množiny. Z operací se sadami však víme, že: vzhledem ke dvěma sadám se mohou nebo nemusí protínat. Pokud se tyto dvě sady neprotínají, jsou pojmenovány disjunktní sady.
Příklad 1
Sestrojte pomocí Vennova diagramu množiny A = {a, b, c, d, e, f} a B = {d, e f, g, h, i}.
Všimněte si, že průsečík je součástí diagramu, který patří ke dvěma množinám, stejně jako v definici.
A ∩ B = {d, e, f}
Příklad 2
Nakreslete množiny C = {a, b, c, d} a D = {e, f, g, h}.
Všimněte si, že průsečík těchto sad je prázdný, protože nemá žádný prvek, který patří současně oběma, tj.:
C ∩ D = {}
• Mezi třemi sadami
Myšlenka reprezentace pomocí Vennova diagramu pro tři sady je podobná reprezentaci mezi dvěma sadami. V tomto smyslu mohou být sady disjunktivní jedna po druhé, to znamená, že nemají žádný průnik; nebo mohou být disjunktní dva po druhém, tj. pouze dva z nich se protínají; nebo se všechny protínají.
Příklad
Reprezentace množin A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} a C = {d, e, c, h} pomocí Vennova diagramu.
Podívejte se také: Důležité množinové notace
členský vztah
Členský vztah nám umožňuje říci, zda prvek patří do určité množiny. K tomu používáme symboly:
Uvažujme množinu A = {a, b, c, d}. Analýzou toho si uvědomujeme Gnapříklad mu nepatří, takže ve Vennově diagramu máme:
Inkluzivní vztah
Inkluzivní vztah nám umožňuje říci bez ohledu na to, zda je sada obsažena v jiné sadě. Pokud je množina obsažena v jiné, říkáme, že je podmnožina. K tomu používáme symboly:
Příkladem toho je vztah mezi množinou přirozená čísla a sada celá čísla. Víme, že množina přirozených čísel je podmnožinou množiny celých čísel, tj. množina přirozených je obsažena v množině celých čísel.
Operace mezi sadami
Základní operace mezi dvěma nebo více sadami jsou: jednota, průsečík a rozdíl mezi dvěma sadami.
• Svaz
Spojení mezi dvěma sadami je vytvořeno spojením prvků obsažených v každé sadě, jinými slovy: jsou brány v úvahu všechny prvky těchto dvou sad. Dívej se:
Zvažte množiny A = {1, 2, 3, 4} a B = {3, 4, 5, 6, 7}. Spojení mezi nimi je dáno:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ve Vennově diagramu jsme stínili spojovací část, tj. Obě sady, zkontrolujte:
• Křižovatka
Průsečík je nová číselná množina tvořená prvky, které patří současně k dalším množinám. Obecně řečeno, průsečík mezi množinami ve Vennově diagramu je dán částí společnou pro příslušné grafy. Dívej se:
Vezmeme-li v úvahu opět množiny A = {1, 2, 3, 4} a B = {3, 4, 5, 6, 7}, máme, že prvky, které patří do množiny A a do množiny B, jsou současně :
A ∩ B = {3,4}
• Rozdíl mezi dvěma sadami
Zvažte dvě sady C a D, rozdíl mezi nimi (C - D) bude nová sada tvořená prvky patřícími do C a nepatřícími do D. Obecně můžeme tento rozdíl představovat pomocí Vennova diagramu takto:
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (Ufal) Na následujícím obrázku byly znázorněny nedisjunktní množiny A, B a C. Barevná oblast představuje sadu:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C.
c) (A U B) - C.
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Řešení
Alternativa b.
Vzpomínáme si na operace se sadami, víme, že průnik mezi dvěma sadami ve Vennově diagramu je dán částí, která je jim společná. Vzhledem k množinám A, B a C a vybarvení průsečíku množiny A ∩ B máme:
Titul: Řešení otázka 1 - část 1
Všimněte si, že pokud odstraníme prvky ze sady C, dostaneme barevnou část požadovanou cvičením, to znamená, že musíme nejprve zvýraznit průsečík a poté odstranit prvky z C.
(A ∩ B) - C.
otázka 2 - (Uerj) Děti ve škole se účastnily očkovací kampaně proti infantilní paralýze a spalničkám. Po kampani bylo zjištěno, že 80% dětí dostalo vakcínu proti paralýze, 90% dostalo vakcínu proti spalničkám a 5% neobdrželo ani jednu.
Určete procento dětí v této škole, které dostaly obě vakcíny.
Řešení
Protože procento dětí, které dostaly obě vakcíny, není známo, nazvěme to původně x. Pamatujte, že nesmíme pracovat se symbolem%, ale psát procenta cvičení v desítkové nebo zlomkové formě.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Abychom zjistili celkový počet dětí, které užívaly pouze vakcínu proti paralýze, odečetli jsme ověřené procento (80%) procenta těch, kteří vzali obojí (x), a totéž by mělo být provedeno u dětí, které očkovaly pouze proti spalničky. Tím pádem:
Spojením všech dětí bude procento 100%, proto:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Proto 75% dětí ve škole mělo obě vakcíny.
Autor: L.do Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
