porozumění sady je hlavním základem pro studium algebra a pojmy velkého významu v matematice, jako např funkce a nerovnosti. Zápis, který používáme pro množiny, je vždy velké písmeno z naší abecedy (např. Množina A nebo množina B).
Ve smyslu reprezentace množin, to lze provést Vennův diagram, jednoduchým popisem charakteristik jeho prvků, vyčíslením prvků nebo popisem jejich vlastností. Při práci s problémy, které zahrnují sady, existují situace, které vyžadují výkon operace mezi sadami, je unie, křižovatka a rozdíl. Budeme to všechno podrobně studovat?
Podívejte se taky: Číselné výrazy - naučte se je řešit!
Zápis a reprezentace množin
Pro reprezentaci množiny vždy používáme a velké písmeno abecedya prvky jsou vždy mezi klíče a jsou odděleny čárkou. Abychom například představovali množinu sudých čísel větších než 1 a menších než 20, použijeme následující zápis: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Formy znázornění množin
reprezentace výčtem: můžeme vyjmenovat jeho prvky, tj. vytvořit seznam, vždy mezi složenými závorkami. Viz příklad:
A = {1,5,9,12,14,20}
popisující funkce: můžeme jednoduše popsat charakteristiku množiny. Například nechť X je množina, máme, že X = {x je kladné číslo násobkem 5}; Y: je sada měsíců v roce.
Vennův diagram: množiny mohou být také reprezentovány ve formě diagramu, známého jako a Vennův diagram, což je efektivnější reprezentace pro provádění operací.
Příklad:
Vzhledem k množině A = {1,2,3,4,5} ji můžeme reprezentovat v následujícím Vennově diagramu:
Prvky vztahu množiny a členství
Vzhledem k jakémukoli prvku můžeme říci, že prvek patří do sady nebo nepatří k té sadě. Abychom tento vztah členství zobrazili rychleji, používáme symboly
(číst jako příslušník) a ∉ (číst jako nepatřící). Například nechť P je množina párová čísla, můžeme říci, že 7 ∉ P a že 12 P.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Rovnost množin
Porovnání mezi sadami je nevyhnutelné, takže můžeme říci, že dvě sady jsou stejné nebo ne, přičemž kontrolujeme každý z jejích prvků. Nechť A = {0,1,3,4,8} a B = {8,4,3,1,0}, i když jsou prvky v jiném pořadí, můžeme říci, že množiny A a B jsou stejné: A = B.
Inkluzivní vztah
Když porovnáváme dvě sady, můžeme narazit na několik vztahů a jedním z nich je vztah inkluze. Pro tento vztah potřebujeme znát některé symboly:
⊃ → obsahuje ⊂→ je obsažen
⊅ → neobsahuje ⊄→není obsažen
Tip: Otevírací strana symbolu bude vždy směřovat k větší sadě. |
Když všechny prvky množiny A patří také do množiny B, říkáme, že A ⊂ B nebo že A je obsažen v B. Například A = {1,2,3} a B = {1,2,3,4,5,6}. Je také možné provést reprezentaci pomocí Vennův diagram, to by vypadalo takto:
A je obsažen v B:
A ⊂ B
Podmnožiny
Když vztah inkluze, to znamená, že množina A je obsažena v množině B, můžeme říci, že A je podmnožinou B. Podmnožinou zůstává sada a sada může mít více podmnožin, postavený z prvků, které k němu patří.
Například: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} má jako podmnožiny množiny B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} a dokonce i množina A {1,2,3,4,5,6,7,8}, to znamená, že A je podmnožinou sebe sama.
jednotná sada
Jak již název napovídá, je to právě tato sada má pouze jeden prvek, jako sada D: {1} zobrazená dříve. Vzhledem k množině B: {1,2,3} máme podmnožiny {1}, {2} a {3}, což jsou všechny sady jednotek.
POZORNOST: Sada E: {0} je také jednotná sada, protože má jediný prvek „0“ a nejedná se o prázdnou sadu.
Přečtěte si také: Sada celých čísel - prvků a charakteristik
prázdná sada
S ještě podnětnějším názvem prázdná sada nemá žádné prvky a je podmnožinou jakékoli sady. Pro reprezentaci prázdné množiny existují dvě možná reprezentace, jsou to V: {} nebo symbol Ø.
Sady dílů
Jako sady dílů známe všechny možné podmnožiny dané sady. Nechť A: {1,2,3,4}, můžeme vypsat všechny podmnožiny této množiny A počínaje množinami, které nemají žádné prvky (prázdné) a potom ty, které mají jeden, dva, tři a čtyři prvky, resp.
prázdná sada: { };
Sady jednotek: {1}; {2};{3}; {4}.
Sady se dvěma prvky: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
sady se třemi prvky: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Sada se čtyřmi prvky: {1,2,3,4}.
Můžeme tedy popsat množinu částí A takto:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Chcete-li zjistit, kolik částí je možné rozdělit sadu, použijeme vzorec:
n [P (A)] = 2Ne
Počet částí A se vypočítá pomocí a potence základna 2 zvýšena na Ne, o tom, co Ne je počet prvků v sadě.
Zvažte množinu A: {1,2,3,4}, která má čtyři prvky. Celkový počet možných podmnožin této sady je 24 =16.
Přečtěte si také: Co je množina iracionálních čísel?
Konečná a nekonečná sada
Při práci se sadami najdeme sady, které jsou omezený (konečný) a ti, kteří jsou neomezený (nekonečný). Sada sudá nebo lichá číslanapříklad je nekonečný a abychom jej reprezentovali, popíšeme postupně několik jeho prvků, takže je možné předpovědět, jaké budou další prvky, a do elipsy vložíme elipsy Finále.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
V konečné sadě však elipsy nedáváme na konec, protože má definovaný začátek a konec.
Odpověď: {1,2,3,4}.
vesmír nastaven
Ó vesmír nastaven, označeno U, je definována jako množina tvořená všemi prvky, které je třeba v rámci problému zohlednit. Každý prvek patří do sady vesmíru a každá sada je obsažena v sadě vesmíru.
Operace se sadami
Operace se sadami jsou: sjednocení, průnik a rozdíl.
Průnik množin
Křižovatka nastane, když prvky patří současně do jedné nebo více sad. Při psaní A∩B hledáme prvky, které patří do množiny A i množiny B.
Příklad:
Zvažte A = {1,2,3,4,5,6} a B = {2,4,6,7,8}, prvky, které patří do množiny A i množiny B, jsou: A∩B = {2 4,6}. Reprezentace této operace se provádí následovně:
A∩B
Pokud sady nemají společné žádné prvky, jsou známé jako disjunktní sady.
A∩B = Ø
rozdíl mezi sadami
vypočítat rozdíl mezi dvěma sadami je hledat prvky, které patří pouze jedné ze dvou sad. Například A - B má jako odpověď sadu složenou z prvků, které patří do sady A a nepatří do sady B.
Příklad: A: {1,2,3,4,5,6} a B: {2,4,6,7,8}. Všimněte si, že A ∩ B = {2,4,6}, takže máme toto:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Jednota
Spojení dvou nebo více sad je spojování vašich podmínek. Pokud existují prvky, které se opakují v obou sadách, zapisují se pouze jednou. Například: A = {1,2,3,4,5} a B = {4,5,6,7,10,14}. K reprezentaci sjednocení používáme symbol (zní: Spojení s B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Pokud se chcete dozvědět více o těchto operacích a vyzkoušet několik vyřešených cvičení, přečtěte si: Operace se sadami.
Morganovy zákony
Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť U je vesmírná množina, existují zde dvě vlastnosti, které jsou dány Morganovými zákony, a to:
(A U B)C = AC ∩BC
(A ∩ B)C = AC U BC
Příklad:
Vzhledem k sadám:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Odpověď: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Pojďme to zkontrolovat (A U B)C = AC ∩BC. Musíme tedy:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Proto (A U B)C={1,3,7,9,11,13,17,19}
Abychom ověřili věrohodnost rovnosti, analyzujme operaci A.C ∩BC:
THEC:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
BC:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Pak, THEC ∩BC ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)C = AC ∩BC
vyřešená cvičení
01) Zvažte U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} a B: {4,5,6, 7,8,9}. Ukažte, že (A ∩ B)C = AC U BC.
Řešení:
1. krok: najít (A ∩ B)C. K tomu máme A ∩ B = {4,5,6}, takže (A ∩ B)C ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. krok: NajdiC U BC. THEC: {7,8,9,10} a BC: {1,2,3,10}, takže AC U BC = {1,2,3,7,8,9,19}.
Ukazuje se, že (A ∩ B)C = AC U BC.
02) S vědomím, že A je množina sudých čísel od 1 do 20, jaký je celkový počet podmnožin, které můžeme sestavit z prvků této množiny?
Řešení:
Nechť P je popsaná množina, máme tu P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Proto je počet prvků P 10.
Podle množiny teorií dílů je počet možných podmnožin P:
210=1024
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
(PUC-Rio-2009) Ve škole se 100 studenty, 80 jako čokoládová zmrzlina, 70 jako krémová zmrzlina a 60 jako obě příchutě. Kolik studentů nemá rád ani jednu příchuť?
(PUC) Při průzkumu trhu bylo zjištěno, že 15 lidí používá alespoň jeden z produktů A nebo B. S vědomím, že 10 z těchto lidí nepoužívá produkt B a 2 z těchto lidí produkt A nepoužívají, kolik lidí používá produkty A a B?
