Barycentrum trojúhelníku: co to je a jak počítat

Ó barycentrumje jedním z významných bodů trojúhelník, což je zase jeden z nejjednodušších známých polygonů. Tato geometrická postava je široce studována a jedním z bodů, které si zaslouží pozornost, je koncept barycentra.

Známe jako barycentrum těžiště trojúhelníku. K jeho nalezení je nutné určit jeho tři mediány a také místo setkání mezi nimi. Když je trojúhelník zastoupen v Kartézské letadloChcete-li najít barycentrum, jednoduše vypočítejte aritmetický průměr mezi hodnotami xay a vyhledejte uspořádaný pár barycentra.

Přečtěte si také: Jak jsou trojúhelníky klasifikovány?

Co je to barycentrum?

Barycentrum je významným bodem trojúhelníku.
Barycentrum je významným bodem trojúhelníku.

Trojúhelník má důležité body, známé jako pozoruhodné body, a barycentrum je jedním z nich, spolu s circumcenterem, incenterem a orthocentrem. Barycentrum je těžiště trojúhelníku a je reprezentován písmenem G. On je nachází se na setkání mediánů trojúhelníku.

Medián trojúhelníku je segment, který začíná u vrcholu a jde do středu strany naproti tomuto vrcholu. V libovolném trojúhelníku je možné vystopovat tři mediány, z nichž každý začíná od jednoho z vrcholů.

Střední trojúhelníky
Střední trojúhelníky

Když nakreslíme tři mediány současně, tři se setkají v jednom bodě. Tento bod, představovaný G, je barycentrum.

Barycentrum (G) je místem setkání tří mediánů trojúhelníku.
Barycentrum (G) je místem setkání tří mediánů trojúhelníku.

Vlastnosti barycentra

  • Vlastnost 1: barycentrum je vždy vnitřní bod trojúhelníku.

Protože medián je vždy vnitřní segment trojúhelníku, je tomu tak i v barycentru, bez ohledu na jeho tvar.

  • Vlastnost 2: barycentrum rozděluje medián na dvě části, jejichž poměr je 1: 2.

Při analýze výše uvedeného trojúhelníku máme toto:

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

Jak se počítá barycentrum?

Při zastoupení na kartézské rovině, je možné najít souřadnice barycentra trojúhelníku. K tomu pojďme vypočítat aritmetický průměr hodnot x a také hodnot y.

Reprezentace trojúhelníku v kartézské rovině
Reprezentace trojúhelníku v kartézské rovině

Všimněte si, že vrcholy jsou A (xTHEyTHE), B (xByB) a C (xCyC), poté vyhledejte souřadnice barycentra G (xGyG), použijeme vzorec:

Podívejte se také: Trigonometrie v libovolném trojúhelníku

vyřešená cvičení

Otázka 1 - Můžeme konstatovat, že barycentrum trojúhelníku, jehož vrcholy jsou body A (2,1), B (-3, 5) a C (4,3), je bod:

A) G (1,3).

B) G (3.1).

C) G (3,3).

D) G (-2, -1).

E) G (-1,3).

Řešení

Alternativa A. Abychom našli souřadnice barycentra trojúhelníku, vypočítejme aritmetický průměr mezi hodnotami x v bodech A, B a C a mezi hodnotami y ve stejných bodech.

Barycentrum je tedy bodem G (1,3).

Otázka 2 - V jednom městě budou nainstalovány tři telefonní věže, které vyřeší problém se sítí a selháním signálu pro mobilní telefony. Ukazuje se, že polohy těchto věží byly plánovány tak, aby se střed města shodoval s barycentrem trojúhelníku s vrcholy na A, B a C, což jsou umístění věží. Pro výběr polohy věží byla radnice definována jako počátek osy a centrum města bylo umístěno v bodě (1, -1). Ujistili se, že umístění bodů A a B bude A (12, -6), B (-4, -10). Jaké by tedy mělo být umístění bodu C?

A) (3,8)
B) (8, -13)
C) (3,8)
D) (-5, 13)
E) (-5, 8)

Řešení

Alternativa D. Víme, že G je poloha ve středu města, což je souřadnicový bod (1, -1).

Nechť (x, y) jsou souřadnice bodu C, pak:

Také zjištění hodnoty y:

Tímto způsobem dorazíme na C (-5, 13).

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Podmínka dvouřádkové soutěže

Podmínka dvouřádkové soutěže

Vzhledem k libovolnému bodu P se souřadnicemi (x0, y0) společnými pro dva řádky r a s říkáme, že ...

read more
Výpočet úhlového koeficientu přímky

Výpočet úhlového koeficientu přímky

Víme, že hodnota sklonu přímky je tangensem jejího úhlu sklonu. Prostřednictvím těchto informací...

read more
Podmínka tříbodového zarovnání pomocí determinantů

Podmínka tříbodového zarovnání pomocí determinantů

Tři nevyrovnané body na kartézské rovině tvoří trojúhelník vrcholů A (x)THEyTHE), B (xByB) a C (x...

read more