Exponenciální rovnice: co jsou a jak je řešit (s příklady)

Rovnice je exponenciální, když neznámá (neznámá hodnota) je v mocnině. Tedy matematická věta, která zahrnuje rovnost mezi dvěma členy, kde se neznámá vyskytuje alespoň v jednom exponentu, se nazývá exponenciální rovnice.

Mocnina je výsledkem součinu své báze samotné, tolikrát, kolikrát je určen exponentem.

V exponenciální rovnici určíme, kolik faktorů se vynásobí, tedy kolikrát se vynásobí základ, abychom získali určitý výsledek.

Definice exponenciální rovnice:

počáteční styl matematická velikost 18px rovně b na mocninu rovného x se rovná rovnému až koncovému stylu

Kde:

b je báze;
x je exponent (neznámý);
a je síla.

O tom, co rovné b se nerovná 1 rovné mezery a rovné b větší než 0 to je rovný a nerovná se 0 .

Příklad exponenciální rovnice:

Neznámá proměnná je v exponentu. Musíme určit, kolikrát se 2 vynásobí, abychom získali 8. Jako 2. 2. 2 = 8, x = 3, protože 2 je třeba vynásobit třikrát, abychom dostali 8.

Jak řešit exponenciální rovnice

Exponenciální rovnice lze psát různými způsoby a k jejich řešení použijeme stejné mocniny se stejnými základy, které musí mít také stejné exponenty.

Protože exponenciální funkce je injektivní, máme:

rovné b na mocninu rovné x s 1 dolním indexem na konci exponenciály rovném b na mocninu rovné x s 2 dolním indexem na konci exponenciální mezera dvojitá šipka vlevo a vpravo mezera rovně x s 1 dolním indexem se rovná rovné x s 2 předplaceno

To znamená, že dvě mocniny se stejným základem se budou rovnat právě tehdy, když jsou stejné i jejich exponenty.

instagram story viewer

Jedna strategie pro řešení exponenciálních rovnic tedy je vyrovnat základy mocnin. Jakmile jsou základy stejné, můžeme je odstranit a porovnat exponenty.

K vyrovnání mocnin v exponenciální rovnici používáme matematické nástroje, jako je faktorizace a potenciační vlastnosti.

Příklady řešení exponenciálních rovnic

Příklad 1
2 na mocninu rovné x rovné 64

Je to exponenciální rovnice, protože věta obsahuje rovnost (rovnici) a neznámá proměnná x je v exponentu (exponenciála).

Abychom určili hodnotu neznámého x, srovnáme základy mocnin pomocí faktorizace 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 nebo 2 na mocninu 6

Dosazení do rovnice:

2 na mocninu rovné x se rovná 2 na mocninu 6

Nedbáme na základy a ponecháme pouze rovnost mezi exponenty.

x = 6

Tedy x = 6 je výsledkem rovnice.

Příklad 2
9 na mocninu rovné x plus 1 konec exponenciály rovný 81

Základy srovnáváme pomocí faktorizace.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Dosazení do rovnice:

otevřené závorky 3 umocněné závorky na mocninu x plus 1 konec exponenciály rovný 3 na mocninu 4

Pomocí mocniny vlastnosti mocniny vynásobíme exponenty na levé straně.

3 na mocninu 2 x plus 2 konec exponenciály rovný 3 na mocninu 4

Když jsou základy stejné, můžeme je zahodit a srovnat exponenty.

2 rovné x plus 2 se rovná 4 2 rovné x se rovná 4 minus 2 2 rovné x se rovná 2 rovné x rovná se 2 přes 2 se rovná 1

Tedy x = 1 je výsledkem rovnice.

Příklad 3

0 čárka 75 na mocninu rovné x rovné 9 nad 16 mezerou

Základ 0,75 převedeme na centezimální zlomek.

otevřené závorky 75 na 100 zavřené závorky na mocninu rovné x rovné 9 na 16 mezera

Zjednodušíme centesimální zlomek.

otevřené závorky 3 na 4 zavřené závorky na mocninu rovné x rovné 9 na 16 mezera

Faktorujeme 9 a 16.

otevřené závorky 3 na 4 zavřené závorky na mocninu rovné x rovné 3 na druhou nad 4 na druhou

Když dáme rovnítko mezi základy, máme x = 2.

otevřené závorky 3 přes 4 zavřené závorky na druhou mocninu x rovno otevřené závorky 3 přes 4 zavřené závorky na druhou

x = 2

Příklad 4

Přeměňujeme kořen na sílu.

4 na mocninu x rovnou 32 na mocninu 1 třetího konce exponenciály

Zohledňujeme energetické základny.

otevřené závorky 2 umocněné těsné závorky na mocninu x rovno otevřené závorky 2 na mocninu 5 těsné závorky na mocninu 1 třetí konec exponenciály

Vynásobením exponentů vyrovnáme základy.

2 na mocninu 2 x konec exponenciály rovná se 2 na mocninu 5 nad 3 konec exponenciály

Proto musíme:

2 rovné x se rovná 5 nad 3 rovné x se rovná čitateli 5 nad jmenovatelem 2,3 konec zlomku se rovná 5 nad 6

Příklad 5

Faktoring 25

otevřené závorky 5 na druhou mocninu přímky x mínus 6,5 na mocninu rovné x plus 5 se rovná 0

Mocninu 5² přepíšeme na x. Změna pořadí exponentů.

otevřené závorky 5 na mocninu x zavřené závorky na druhou mínus 6,5 na mocninu rovné x plus 5 se rovná 0

Použijeme pomocnou proměnnou, kterou budeme nazývat y.

5 na mocninu přímky x se rovná přímce y (tuto rovnici si ponechte, použijeme ji později).

Dosazení do předchozí rovnice.

rovně y na druhou mínus 6. přímka y plus 5 se rovná 0 přímka y na druhou mínus 6 přímka y plus 5 se rovná 0

Při řešení kvadratické rovnice máme:

přírůstek se rovná b na druhou mínus 4. The. c přírůstek se rovná levá závorka mínus 6 pravá závorka na druhou mínus 4.1.5 přírůstek se rovná 36 mínus 20 přírůstek se rovná 16

rovné y s 1 dolním indexem se rovná čitatel minus přímé b plus druhá odmocnina přírůstku nad jmenovatelem 2. přímo na konec rovného zlomku y s 1 dolním indexem rovným čitatel mínus levá závorka mínus 6 pravá závorka plus druhá odmocnina z 16 nad jmenovatelem 2.1 konec rovného zlomku y s 1 dolním indexem rovným čitateli 6 plus 4 nad jmenovatelem 2 konec zlomku rovný 10 nad 2 rovný 5

rovné y se 2 dolním indexem se rovná čitatel minus přímka b minus druhá odmocnina přírůstku nad jmenovatelem 2. přímo na konec zlomku rovně y s 2 dolní index rovný čitateli 6 minus 4 nad jmenovatelem 2 konec zlomku rovný 2 nad 2 rovný 1

Sada řešení pro kvadratickou rovnici je {1, 5}, to však není řešení exponenciální rovnice. Musíme se vrátit k proměnné x pomocí 5 na mocninu přímky x se rovná přímce y.