Operace se složitými čísly v trigonometrické formě usnadňují výpočet zahrnující prvky této sady. Násobení a dělení komplexů, které jsou v trigonometrické formě, se provádí téměř okamžitě, zatímco v algebraické formě vyžaduje tento proces více výpočtů. Zesílení a vyzařování komplexů v trigonometrické formě je také usnadněno použitím Moivrových vzorců. Podívejme se, jak probíhá zakořenění těchto čísel:
Uvažujme jakékoli komplexní číslo z = a + bi. Trigonometrická forma z je:
Kořeny n-indexu z jsou dány druhým Moivreovým vzorcem:
Příklad 1. Najděte druhé odmocniny 2i.
Řešení: Nejprve musíme napsat komplexní číslo v trigonometrické formě.
Celé komplexní číslo má tvar z = a + bi. Musíme tedy:
Víme také, že:
S hodnotami sinus a kosinus můžeme dojít k závěru, že:
Trigonometrická forma z = 2i je tedy:
Nyní vypočítejme odmocniny z pomocí Moivreova vzorce.
Protože chceme druhé odmocniny z, dostaneme dva odlišné kořeny z0 a z1.
Pro k = 0 budeme mít
Pro k = 1 budeme mít:
Nebo
Příklad 2. Získejte kubické kořeny z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Řešení: Jelikož je komplexní číslo již v trigonometrické formě, stačí použít Moivreův vzorec. Z tvrzení máme, že ø = π a | z | = 1. Tím pádem,
Budeme mít tři odlišné kořeny, z0, z1 a z2.
Pro k = 0
Pro k = 1
Nebo z1 = - 1, protože cos π = - 1 a sin π = 0.
Pro k = 2
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Autor: Marcelo Rigonatto
Specialista na statistiku a matematické modelování
Tým brazilské školy
Složitá čísla - Matematika - Brazilská škola
Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
RIGONATTO, Marcelo. "Záření komplexních čísel v trigonometrické formě"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm. Zpřístupněno 29. června 2021.
