Minimální společný násobek (MMC)

Ó minimální společný násobek (MMC) mezi dvěma celými čísly xay je nejmenší celé číslo, které je násobkem xay současně. Tímto způsobem existuje alespoň jeden způsob, jak najít MMC mezi dvěma čísly x a y: hledejte v sadách násobků x a y nejmenší společný prvek. Samozřejmě existuje praktická metoda pro zjištění tohoto čísla, o které bude pojednáno níže. Je však nutné porozumět konceptu násobků celočíselné jamky.
Co jsou to násobky?

Celé číslo k se nazývá a násobek x, pokud existuje nějaké přirozené číslo n takové, že n · x = k. Vezměte si příklad čísla 110. On je násobek 10, protože 110 je výsledkem vynásobení 10 přirozeným číslem 11.

Tímto způsobem je možné určit, zda je celé číslo k násobek x pokusem a omylem nebo provedením inverzní operace násobení (dělení). Číslo k je násobkem x, pokud existuje přirozené číslo n takové, že:

n = k
X

Jinými slovy, abyste zjistili, zda je 110 násobkem 10, vydělte 110 10. Pokud je nalezeným výsledkem přirozené číslo, 110 je násobkem 10; jinak ne.

Protože množina přirozených čísel je nekonečná, množina

násobky jakéhokoli celého čísla je také nekonečné. Nicméně, k řešení cvičení zahrnujících více a MMC, je dobré napsat seznam prvních násobků čísla, abyste získali lepší analýzu chování jeho násobků.

Níže je uveden seznam prvních 10 násobků 8, 10, 12, 20 a 40. Jedná se o prvních 10, protože jsou výsledkem vynásobení těchto čísel prvními 10 přirozenými čísly.

10 prvních přírodních látek: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Násobky 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

Násobky 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

Násobky 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

Násobky 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200

Násobky 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400

Nejmenší společný násobek

Chcete-li najít nejmenší společný násobek mezi dvěma čísly, najděte menší násobek které mají společné. První technikou používanou k nalezení mmc je hledat ji mezi násobky těchto dvou čísel. Podívejte se na příklad:

Nejmenší společný násobek mezi 10 a 12 je 60, protože mezi násobky 10 a 12 je 60 nejmenší číslo, které je násobkem obou. Hodinky:

Násobky 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

Násobky 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

Pro tato dvě čísla, která jsou malá, je snadné najít MMC. Ale co když je vyžadován výpočet MMC mezi 256 a 384? Pokud budete chtít pokračovat touto metodou, budete potřebovat četné únavné násobení. K tomu existuje praktická metoda o kterém bude pojednáno níže.
Metoda rozkladu pro výpočet MMC

Pro výpočet nejmenší společný násobek mezi dvěma čísly můžete vytvořit rozklad prvního faktoru jejich. Například rozklady na hlavní faktory 10 a 12 jsou:

10 = 2·5

12 = 2·2·3 = 2²·3

Poznámka: Kdykoli se objeví opakující se faktory, zapište je do mocninové podoby, jako tomu bylo při rozkladu čísla 12.

MMC mezi 10 a 12 bude produktem hlavních faktorů, s výjimkou opakujících se faktorů, které mají nejmenší exponent. Minimum tedy bude:

2²·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60

Všimněte si, že faktor 2, z rozkladu čísla 10, byl ignorován, protože stejný faktor, z rozkladu čísla 12, byl na druhou.

Díky tomu je výpočet MMC mezi 256 a 384 snazší. Dívej se:

256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 2⁸

384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 2⁷·3

MMC bude produkt 2⁸·3 = 256·3 = 768.

Příklad 2: MMC mezi 768 a 4608

768 = 2⁸·3

4608 = 2⁹·3²

MMC bude produkt: 2⁹·3².

Příklad 3: Vypočítejte MMC mezi 2700 a 4608

2700 = 3³·2²·5²

4608 = 2⁹·3²

Faktory jsou 2, 3 a 5. Ti, kteří mají nejvyšší exponenty, jsou 2⁹, 3³ a 5². MMC tedy bude:

2⁹·3³·5² = 345600

Praktická metoda výpočtu MMC

Je možné si uvědomit, že k rozložení čísel na hlavní faktory, je nutné je rozdělit nejmenším možným primárním dělitelem a stále ignorovat faktory, které se opakují ve stejném dělení. Existuje metoda schopná tohoto úkolu. Abychom vás naučili, použijeme příklad MMC mezi 1000 a 1024.

Napište tato dvě čísla vedle sebe, oddělená čárkou, a posuňte svislý boční tah napravo od nich:

1000, 1024 |
|
|

Napravo od této stopy napište nejmenší prvočíslo, které dělí alespoň jedno mezi 1000 a 1024. V tomto případě je číslo 2 a dělí obě.

1000, 1024 | 2
|
|

Přímo pod každou z nich napište výsledek svého dělení na 2 a u těchto výsledků opakujte výše uvedený postup, dokud již nebude možné rozdělit kterékoli číslo na 2.

1000, 1024 |2 
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |

Všimněte si, že v jednom okamžiku najdeme výsledek 125 ve sloupci 1000, ale 125 není dělitelný 2. Ve sloupci číslo 1024 dostaneme pouze výsledky dělitelné 2. V tomto případě pokračujeme v dělení čísel ve sloupci 1024 o 2 a opakujeme číslo 125.

Když čísla ve sloupcích 1 000 a 1024 již nejsou dělitelná 2, zkuste další prvočíslo: číslo 3. Pokud už nejsou dělitelé 3, zkuste další a tak dále, dokud nezískáte výsledek „1,1“. V případě příkladu není 125 dělitelné 3, ale 5, takže postup zopakujeme umístěním 5 napravo od pomlčky. Hodinky:

1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 | 

Jakmile je hotovo, vynásobte faktory nalezené napravo od svislé čáry:

2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 2¹⁰·5³ = 128000

Příklad 2: Vypočítejte MMC mezi 432 a 384:

432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |

MMC bude: =

2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 2⁷·3³ = 128·9 = 1152

Chcete-li vypočítat MMC tří nebo více čísel, jednoduše použijte praktickou metodu popsanou zde a umístěte všechna tato čísla vedle sebe.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm