THE číselná posloupnost, jak název napovídá, je posloupnost čísel a obvykle má zákon o opakování, který umožňuje předvídat, jaké budou další podmínky poznávání svých předchůdců. Můžeme sestavit číselné řady s různými kritérii, jako je posloupnost sudých čísel nebo posloupnost čísel dělitelné 4, posloupnost prvočísel, posloupnost dokonalých čtverců, konečně existuje několik možností posloupností numerické.
Když posoudíme sekvenci z hlediska počtu termínů, posloupnost může být konečná nebo nekonečná. Když klasifikujeme posloupnost týkající se chování termínů, tato posloupnost může být vzestupné, sestupné, oscilační nebo konstantní. Existují speciální případy posloupností, které jsou známé jako aritmetické a geometrické posloupnosti.
Přečtěte si také: Jak vypočítat soma podmínek a aritmetický postup?
Souhrn číselných řad
Číselná posloupnost není nic jiného než posloupnost čísel.
-
Některé příklady číselné řady:
posloupnost sudých čísel (0,2,4,6,8…);
sekvence přírodních látek menší než 6 (1, 2, 3, 4, 5);
posloupnost prvočísel (2,3,5,7,11,…).
Zákon formace postupu je pravidlo, které řídí tuto sekvenci.
-
Posloupnost může být konečná nebo nekonečná.
Konečný: když máte omezené množství podmínek.
Nekonečné: když máte neomezené množství podmínek.
-
Sekvence může být rostoucí, nevěřící, konstantní nebo kolísavá.
Půlměsíc: když je termín vždy menší než jeho nástupce.
Klesající: když je termín vždy větší než jeho nástupce.
Konstantní: když se termín vždy rovná jeho následníkovi.
Oscilační: když existují pojmy větší a menší než jeho nástupce.
Existují speciální případy posloupnosti známé jako aritmetická posloupnost nebo geometrická posloupnost.
Zákon výskytu číselné řady
Známe jako číselná posloupnost libovolná posloupnost tvořená čísly. Sekvence obvykle demonstrujeme uvedením jejich termínů, uzavřených v závorkách a oddělených čárkou. Tento seznam je znám jako zákon výskytu číselné řady.
(The1, a2, a3, …, ANe)
The1 → 1. člen posloupnosti
The2 → 2. člen posloupnosti
The3 → 3. člen posloupnosti
TheNe → n-tý člen posloupnosti
Podívejme se na několik příkladů níže.
Příklad 1:
Zákon výskytu posloupnosti čísel násobky z 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Příklad 2:
Zákon výskytu posloupnosti prvočísla:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Příklad 3:
Zákon výskytu Celý záporný:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Příklad 4:
Posloupnost lichých čísel menších než 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Přečtěte si také: Jaké jsou vlastnosti lichých a sudých čísel?
Klasifikace číselných sekvencí
Řetězec lze klasifikovat dvěma různými způsoby. První je co do výše podmínek, způsob, jakým může být posloupnost konečná nebo nekonečná. Druhým způsobem, jak klasifikovat sekvence, je pokud jde o jejich chování. V tomto případě jsou klasifikovány jako rostoucí, klesající, konstantní nebo kolísavé.
Klasifikace podle počtu pojmů
→ posloupnost konečných čísel
Sekvence je konečná, když je má omezené množství podmínek.
Příklady:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ nekonečná číselná řada
Sekvence je nekonečná, pokud má neomezené množství termínů.
Příklady:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Hodnocení chování
→ Vzestupná číselná řada
Sekvence stoupá kdy je jakýkoli termín vždy menší než jeho nástupce v pořadí.
Příklady:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Sestupná číselná řada
Sekvence klesá kdy kterýkoli termín je vždy větší než jeho nástupce v pořadí.
Příklady:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ posloupnost konstantních čísel
Sekvence je konstantní, když všechny pojmy v pořadí jsou stejné:
Příklady:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Oscilační posloupnost čísel
Sekvence se houpá když existují výrazy, které jsou větší a výrazy, které jsou menší že jejich příslušní nástupci v pořadí:
Příklady:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Zákon o tvorbě číselné řady
Některé sekvence lze popsat pomocí a vzorec, který generuje vaše výrazy. Tento vzorec je znám jako zákon formace. Použijeme zákon formace k nalezení libovolného výrazu v pořadí, když známe jeho chování.
Příklad 1:
Následující sekvenci tvoří perfektní čtverce:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Tuto posloupnost můžeme popsat zákonem formování:
TheNe = (n - 1) ²
n → číslo termínu
TheNe → termín pozice Ne
S tímto vzorcem je možné znát například výraz, který zaujímá pozici číslo 10 v pořadí:
The10 = ( 10 – 1) ²
The10 = 9²
The10 = 81
Příklad 2:
Vyjmenujte pojmy sekvence, jejíž zákon formace jeNe = 2n - 5.
Chcete-li zobrazit seznam, najdeme první výrazy v pořadí:
1. termín:
TheNe = 2n - 5
The1 = 2·1 – 5
The1 = 2 – 5
The1 = – 3
2. termín:
TheNe = 2n - 5
The2 = 2·2 – 5
The2 = 4 – 5
The2 = – 1
3. termín:
TheNe = 2n - 5
The3 = 2·3 – 5
The3 = 6 – 5
The3 = 1
4. termín:
TheNe = 2n - 5
The4 = 2·4 – 5
The4 = 8 – 5
The4 = 3
5. termín:
The5 = 2n - 5
The5 = 2·5 – 5
The5 = 10 – 5
The5 = 5
Sekvence je tedy:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Podívejte se také: Římská čísla — numerický systém, který používá písmena k vyjádření hodnot a veličin
Aritmetická posloupnost a geometrická posloupnost
Existují speciální případy sekvencí které jsou známé jako aritmetická posloupnost a geometrická posloupnost. Sekvence je postup, pokud existuje důvod pro termín pro jeho nástupce.
aritmetický postup
Když známe první člen v posloupnosti a abychom našli druhý,přidali jsme první na hodnotu r a abychom našli třetí člen, přidáme druhý ke stejné hodnotě. r, atd., je řetězec klasifikován jako a aritmetický postup.
Příklad:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Jedná se o aritmetický průběh poměru rovného 4 a prvního členu rovného 1.
Všimněte si, že pro nalezení nástupce čísla v sekvenci přidejte 4, takže říkáme, že 4 je důvodem této aritmetické progrese.
Geometrický průběh
Na geometrický průběh, existuje také důvod, ale v tomto případě, abychom našli nástupce členu, musíme člen vynásobit poměrem.
Příklad:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Jedná se o geometrický průběh poměru rovného 3 a prvního členu rovného 2.
Všimněte si, že abyste našli nástupce čísla v této sekvenci, jednoduše vynásobte 3, což činí poměr této geometrické posloupnosti 3.
vyřešená cvičenío číselné řadě
Otázka 1 - Při analýze sekvence (1, 4, 9, 16, 25,…) můžeme říci, že další dvě čísla budou:
A) 35 a 46.
B) 36 a 49.
C) 30 a 41.
D) 41 a 66.
Řešení
Alternativa B.
Chcete-li najít pojmy posloupnosti, je důležité najít v posloupnosti pravidelnost, to znamená pochopit její zákon výskytu. Všimněte si, že od prvního členu k druhému členu přidáme 3; od druhého do třetího členu přidáme 5; od třetího ke čtvrtému členu a od čtvrtého k pátému členu přidáme 7 a 9, takže součet se zvýší o dva jednotky ke každému členu posloupnosti, to znamená, že v dalším přidáme 11, potom 13, pak 15, pak 17 atd. postupně. Abychom našli nástupce 25, přidáme 11.
25 + 11 = 36.
Abychom našli nástupce 36, přidáme 13.
36 + 13 = 49
Další termíny tedy budou 36 a 49.
Otázka 2 - (Institut AOCP) Dále je uvedena numerická posloupnost, takže prvky této posloupnosti byly uspořádány podle logického zákonu formace, kde x a y jsou celá čísla: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Pozorováním této posloupnosti a nalezením hodnot x a y podle zákona formování dané posloupnosti je správné konstatovat, že
A) x je číslo větší než 30.
B) y je číslo menší než 5.
C) výsledkem součtu xay je 25.
D) součin x a y dává 106.
E) rozdíl mezi y a x v tomto pořadí je kladné číslo.
Řešení
Alternativa C.
Chceme najít 7. a 8. člen této posloupnosti.
Při analýze zákona výskytu posloupnosti (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y) je možné vidět, že pro liché členy existuje logika (1. člen, 3. člen, 5. člen... ). Všimněte si, že 3. člen se rovná 1. členu minus 2, protože 24 - 2 = 22. Při použití stejné logiky bude 7. člen, představovaný x, 5. členem mínus 2, tj. X = 20 - 2 = 18.
Podobná logika existuje i pro sudé výrazy (2. člen, 4. člen, 6. člen…): 4. člen je 2. člen mínus 2, protože 13 - 2 = 11 atd. Chceme 8. člen představovaný y, což bude 6. člen mínus 2, takže y = 9 - 2 = 7.
Takže máme x = 18 a y = 7. Při analýze alternativ máme x + y = 25, tj. Součet xay má za následek 25.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm