Trigonometrické poměry: sinus, kosinus a tangens jsou vztahy mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Pomocí těchto poměrů je možné určit neznámé hodnoty úhlů a bočních měření.
Procvičte si své znalosti s vyřešenými problémy.
otázky o sinus
Otázka 1
být úhel rovno 30° a přepona 47 m, vypočítejte měření výšky The trojúhelníku.
Trigonometrický sinusový poměr je kvocient mezi mírami opačné strany úhlu a přepony.
Izolační The na jedné straně rovnosti máme:
Z trigonometrické tabulky máme, že sinus 30° se rovná , dosadíme v rovnici:
Výška trojúhelníku je tedy 23,50 m.
otázka 2
Pohled shora na park ukazuje dvě cesty, jak se dostat do bodu C z bodu A. Jednou z možností je jít do B, kde jsou pítka a odpočívadla, a pak do C. Pokud chce návštěvník parku jít přímo do C, o kolik metrů ušel méně než první možnost?
Zvažte aproximace:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
tan 58° = 1,60
Odpověď: opustíte A a půjdete rovně do C, chůze je o 7,54 m kratší.
Krok 1: Vypočítejte vzdálenost.
Krok 2: určete vzdálenost.
Krok 3: určete vzdálenost .
Krok 4: Určete rozdíl mezi dvěma cestami.
otázka 3
Byla instalována lanovka spojující základnu s vrcholem hory. Pro instalaci bylo použito 1358 m kabelů uspořádaných pod úhlem 30° vůči zemi. jak vysoká je hora?
Správná odpověď: výška hory je 679 m.
K určení výšky hory můžeme použít sinusový trigonometrický poměr.
Z trigonometrické tabulky máme sin 30° = 0,5. Protože sinus je poměr mezi opačnou stranou a přeponou, určíme výšku.
otázka 4
(CBM-SC, voják-2010) Pomoci osobě v bytě při požáru hasiči použije 30m žebřík, který bude umístěn tak, jak je znázorněno na obrázku níže, svírající úhel se zemí ze 60. Jak daleko je byt od podlahy? (Použijte sen60º=0,87; cos60º=0,5 a tg60º= 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Správná odpověď: b) 26,1m.
Pro určení výšky použijeme 60° sinus. Volání výšky h a použití 60° sinusu rovného 0,87.
Otázky ohledně kosinu
otázka 5
Kosinus je poměr mezi stranou přiléhající k úhlu a měřením přepony. Bytost rovná 45°, vypočítejte míru nohy sousedící s úhlem alfa v trojúhelníku obrázku.
zvážit
Aproximace druhé odmocniny hodnoty 2:
Míra sousedního ramene je přibližně 19,74 m.
otázka 6
Během fotbalového zápasu hází hráč 1 na hráče 2 pod úhlem 48°. Jak daleko musí míč urazit, aby dosáhl hráče 2?
Zvážit:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
tan 48° = 1,11
Správná odpověď: Míč musí urazit vzdálenost 54,54 m.
Měřením mezi hráčem 1 a hráčem 2 je přepona pravoúhlého trojúhelníku.
Kosinus úhlu 48° je poměr jeho přilehlé strany k přeponě, kde přilehlá strana je vzdálenost mezi středem pole a velkou oblastí.
52,5 - 16,5 = 36 m
Výpočet kosinusu, kde h je přepona.
otázka 7
Střecha je považována za sedlovou, pokud existují dva sklony. V jednom díle se staví střecha, kde je setkání jejích dvou vod přesně uprostřed desky. Úhel sklonu každé vody vzhledem k desce je 30°. Deska je dlouhá 24 m. Pro objednání tašek ještě před dokončením konstrukce, která ponese střechu, je nutné znát délku každé vody, která bude:
Jelikož je deska dlouhá 24 m, každá voda bude mít 12 m.
Když nazveme délku každé střešní vody L, máme:
Racionalizace zlomku k získání iracionálního čísla jmenovatele.
Tvorba,
Délka každé střešní vody bude tedy přibližně 13,6 m.
otázka 8
Tangenta je poměr mezi protilehlou stranou úhlu a jeho přilehlou stranou. být úhel rovna 60°, vypočítejte výšku trojúhelníku.
Tečné otázky
otázka 9
Člověk chce znát šířku řeky, než ji překročí. Za tímto účelem nastaví referenční bod na druhé hraně, jako je například strom (bod C). V pozici, ve které se nacházíte (bod B), jděte 10 metrů doleva, dokud mezi bodem A a bodem C nevytvoříte úhel 30°. Vypočítejte šířku řeky.
zvážit .
Pro výpočet šířky řeky, kterou budeme nazývat L, použijeme tangens úhlu .
otázka 10
(Enem 2020) Pergolado je název pro typ střechy navržený architekty, běžně ve čtvercích a
zahrady, vytvořit prostředí pro lidi nebo rostliny, ve kterém dochází k poklesu množství světla,
v závislosti na poloze slunce. Je vyrobena jako paleta stejných nosníků, umístěných paralelně a dokonale
v řadě, jak je znázorněno na obrázku.
Architekt navrhuje pergolu s rozpětím 30 cm mezi jejími trámy tak, aby v
letní slunovrat, trajektorie slunce během dne probíhá v rovině kolmé ke směru
paprsky, a že odpolední slunce, když jeho paprsky udělají 30° s pozicí čepu, generují polovinu
světla, které v poledne prochází pergolou.
Aby vyhověl návrhu projektu zpracovanému architektem, trámy pergoly musí být
konstruováno tak, aby se výška v centimetrech co nejvíce blížila
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Správná odpověď: c) 26.
Abychom pochopili situaci, udělejme si obrys.
Obrázek vlevo ukazuje výskyt slunečního světla v poledne se 100 %. Obrázek vlevo je to, co nás zajímá. Pergolou při 30% sklonu propustí pouze 50 % slunečních paprsků.
Použijeme tečný trigonometrický poměr. Tangenta úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně.
Nazveme-li výšku pergoly h, máme:
Vytvoření tečny 30° =
Zracionalizujme poslední zlomek, abychom ve jmenovateli nenechali odmocninu ze tří, iracionální číslo.
Tvorba,
Z možností dostupných pro otázku je nejbližší písmeno c, výška trámů musí být přibližně 26 cm.
otázka 11
(Enem 2010) Atmosférický balón vypuštěný v Bauru (343 kilometrů severozápadně od São Paula) v noci minulou neděli padl toto pondělí v Cuiabá Paulista, v regionu Presidente Prudente, strašení
zemědělci v regionu. Artefakt je součástí programu Hibiscus Project, který vyvinula Brazílie, Francie,
Argentina, Anglie a Itálie, aby se změřilo chování ozonové vrstvy a došlo k jejímu sestupu
po dodržení předpokládané doby měření.
V den akce viděli balon dva lidé. Jeden byl 1,8 km od svislé polohy balónu
a viděl to pod úhlem 60°; druhý byl 5,5 km od svislé polohy balónu, zarovnaný s balonem
nejprve a ve stejném směru, jak je vidět na obrázku, a viděl ho pod úhlem 30°.
Jaká je přibližná výška balónu?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Správná odpověď: c) 3,1 km
Použijeme tečnu 60°, která se rovná . Tangenta je trigonometrický poměr mezi opačnou stranou úhlu a jeho sousední stranou.
Proto výška balónu byla přibližně 3,1 km.
