Exponenciální funkce: 5 komentovaných cvičení

THE exponenciální funkce je každá funkce ℝ v ℝ^*_+, definováno f (x) = a^X, kde a je reálné číslo, větší než nula a nerovná se 1.

Využijte komentovaná cvičení k odstranění všech svých pochybností o tomto obsahu a nezapomeňte si ověřit své znalosti v vyřešených otázkách soutěží.

Komentovaná cvičení

Cvičení 1

Skupina biologů studuje vývoj konkrétní kolonie bakterií a bylo zjištěno, že za ideálních podmínek lze počet bakterií zjistit pomocí výrazu N (t) = 2000. 2^{0,5 t}, být t v hodinách.

Vzhledem k těmto podmínkám, jak dlouho po začátku pozorování se počet bakterií bude rovnat 8192000?

Řešení

V navrhované situaci známe počet bakterií, to znamená, že víme, že N (t) = 8192000 a chceme najít hodnotu t. Stačí tedy nahradit tuto hodnotu v daném výrazu:

Abychom tuto rovnici vyřešili, zapíšeme číslo 4096 do prvočísel, protože pokud máme stejnou základnu, můžeme se rovnat exponentům. Když tedy vezmeme číslo, máme:

Kultura tedy bude mít 8 192 000 bakterií po 1 dni (24 h) od začátku pozorování.

Cvičení 2

Radioaktivní materiály mají přirozenou tendenci časem rozpadat svoji radioaktivní hmotu. Čas potřebný k rozpadu poloviny radioaktivní hmoty se nazývá jeho poločas.

Množství radioaktivního materiálu daného prvku je dáno vztahem:

Bytost,

N (t): množství radioaktivního materiálu (v gramech) za daný čas.
N₀: počáteční množství materiálu (v gramech)
T: poločas (v letech)
t: čas (v letech)

Vzhledem k tomu, že poločas tohoto prvku je roven 28 let, určete čas potřebný ke snížení radioaktivního materiálu na 25% jeho původního množství.

Řešení

Pro navrhovanou situaci A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, takže můžeme napsat daný výraz a nahradit T 28 lety, poté:

Proto bude trvat 56 let, než se množství radioaktivního materiálu sníží o 25%.

Soutěžní otázky

1) Unesp - 2018

Ibuprofen je předepsaný lék na bolest a horečku s poločasem přibližně 2 hodiny. To znamená, že například po 2 hodinách po požití 200 mg ibuprofenu zůstane v krvi pacienta pouze 100 mg léku. Po dalších 2 hodinách (celkem 4 hodiny) zůstane v krvi pouze 50 mg atd. Pokud pacient dostane 800 mg ibuprofenu každých 6 hodin, množství tohoto léku, které zůstane v krevním oběhu po dobu 14 hodin po užití první dávky, bude

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Viz odpověď

Vzhledem k tomu, že počáteční množství léku v krvi každé 2 hodiny je rozděleno na polovinu, můžeme tuto situaci vyjádřit pomocí následujícího schématu:

Všimněte si, že exponent se v každé situaci rovná času dělenému 2. Můžeme tedy definovat množství léků v krevním řečišti jako funkci času pomocí následujícího výrazu:

Bytost

Q (t): množství za danou hodinu
Q₀: počáteční požitá částka
t: čas v hodinách

Vzhledem k tomu, že 800 mg ibuprofenu bylo užito každých 6 hodin, máme:

Abychom zjistili množství léku v krvi 14 hodin po požití 1. dávky, musíme přidat množství vztahující se k 1., 2. a 3. dávce. Při výpočtu těchto množství máme:

Množství 1. dávky bude zjištěno s ohledem na čas rovný 14 h, takže máme:

U druhé dávky, jak je znázorněno na obrázku výše, byl čas 8 hodin. Nahrazením této hodnoty máme:

Čas pro 3. dávku bude pouze 2 hodiny. Množství související s 3. dávkou pak bude:

Nyní, když známe množství pro každou požitou dávku, můžeme zjistit celkové množství přidáním každého z nalezených množství:

Q_celkový= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Jezero sloužící k zásobování města bylo kontaminováno po průmyslové havárii a dosáhlo úrovně toxicity T₀, což odpovídá desetinásobku počáteční úrovně.
Přečtěte si informace níže.

• Přirozený tok jezera umožňuje obnovovat 50% jeho objemu každých deset dní.
• Hladinu toxicity T (x) lze po x dnech nehody vypočítat pomocí následující rovnice:

Zvažte D nejmenší počet dní přerušení dodávky vody, které jsou nezbytné pro návrat toxicity na původní úroveň.
Pokud log 2 = 0,3, hodnota D se rovná:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Viz odpověď

Pro návrat k původní úrovni toxicity je nutné, aby:

Dosazením této hodnoty v dané funkci máme:

Násobením „křížku“ se rovnice stává:

2 ^0,1x= 10

Aplikujme logaritmus základny 10 na obě strany, abychom z něj udělali rovnici 1. stupně:

protokol (2^0,1x) = log 10

Pamatujeme si, že log 10 v základně 10 se rovná 1, bude naše rovnice vypadat takto:

0,1x. log 2 = 1

Vzhledem k tomu, že log 2 = 0,3 a dosazením této hodnoty do rovnice:

Nejmenší počet dní, přibližně, kdy by měla být dodávka pozastavena, je tedy 34 dní.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp - 2018

Nechť f: ℝ → ℝ ag: ℝ₊ → ℝ definováno

resp.

Graf složené funkce g_ºvíra:

Viz odpověď

Hledaný graf je složená funkce g_ºf, proto je prvním krokem určení této funkce. K tomu musíme nahradit funkci f (x) v x funkce g (x). Provedením této náhrady najdeme:

Pomocí vlastnosti logaritmu kvocientu a mocniny máme:

Všimněte si, že výše uvedená funkce je typu ax + b, což je afinní funkce. Váš graf bude tedy přímka.

Sklon a se také rovná logu₁₀ 5, což je kladné číslo, takže graf bude narůstat. Tímto způsobem můžeme vyloučit možnosti b, cae.

Zbývají nám možnosti a a d, ale když x = 0, máme gof = - log₁₀ 2, což je záporná hodnota znázorněná v grafu a.

Alternativa a)

4) Unicamp - 2014

Níže uvedený graf ukazuje křivku biotického potenciálu q (t) pro populaci mikroorganismů v čase t.

Protože a a b jsou skutečné konstanty, je funkce, která může představovat tento potenciál

a) q (t) = při + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = at² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Viz odpověď

Ze zobrazeného grafu můžeme zjistit, že když t = 0, funkce se rovná 1000. Dále je také možné pozorovat, že funkce není afinní, protože graf není přímka.

Pokud by funkce byla typu q (t) = at²+ bt, když t = 0, výsledek by se rovnal nule a ne 1000. Není to tedy ani kvadratická funkce.

Jak se přihlásit_B0 není definováno, nemohlo by také mít funkci q (t) = a + log_Bt.

Jedinou možností by tedy byla funkce q (t) = ab^t. Když vezmeme v úvahu t = 0, funkce bude q (t) = a, protože a je konstantní hodnota, stačí, aby se rovnala 1000, aby se funkce vešla do daného grafu.

Alternativa b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Dělnická unie společnosti navrhuje, aby platová třída platila ve výši 1 800,00 R $ a navrhuje fixní procentní nárůst pro každý rok věnovaný práci. Výraz, který odpovídá návrhům platů jako funkce délky služby (t) v letech, je s (t) = 1800. (1,03)^t .

Podle návrhu odborového svazu bude plat profesionála z této společnosti s 2 roky služby v realitě

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62.

Viz odpověď

Odborem navrhovaný výraz pro výpočet mzdy jako funkce času odpovídá exponenciální funkci.

Chcete-li zjistit hodnotu platu v uvedené situaci, vypočítejme hodnotu s, když t = 2, jak je uvedeno níže:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1909,62

Přečtěte si také:

• Exponenciální funkce
• Logaritmus
• Logaritmus - cvičení
• Vlastnosti logaritmu
• Potenciace
• potenciační cvičení
• Afinní funkce
• Lineární funkce
• Související funkční cvičení
• Kvadratická funkce
• Kvadratická funkce - cvičení
• Matematické vzorce