Složené úrokové cvičení

Složený úrok představuje opravu použitou na částku, která byla vypůjčena nebo použita. Tento typ opravy se také nazývá úrok z úroku.

Jako obsah s velkou použitelností se často objevuje na soutěžích, přijímacích zkouškách a na Enem. Proto pomocí níže uvedených otázek ověřte své znalosti o tomto obsahu.

Komentované otázky

1) Enem - 2018

Smlouva o půjčce stanoví, že při splácení splátky předem bude poskytnuto snížení úroků v souladu se zálohovým obdobím. V tomto případě zaplatíte současnou hodnotu, což je hodnota v té době, částky, která by měla být vyplacena k budoucímu datu. Současná hodnota P předložená složenému úroku se sazbou i, po dobu n, vytvoří budoucí hodnotu V určenou vzorcem

V úvěrové smlouvě se šedesáti měsíčními pevnými splátkami ve výši 820,00 R $ s úrokovou sazbou 1,32% měsíčně společně u třicáté splátky bude předem zaplacena další splátka, pokud je sleva vyšší než 25% hodnoty splátky část.

Použijte 0,2877 jako aproximaci pro a 0,0131 jako aproximace k ln (1,0132).
První ze splátek, které lze očekávat společně s 30., je

a) 56
b) 55
c) 52
d) 51.
e) 45

Viz odpověď

V navrhované otázce chceme zjistit, která splátka, při uplatnění snížení úroků při platbě předem, má zaplacená částka slevu větší než 25%, tedy:

Zjednodušení zlomku (vydělením horní a dolní části 25) a zjištění, že částka, která má být zaplacena za zálohu, musí být:

Očekávaná splátka odpovídá budoucí hodnotě korigované na současnou hodnotu, tj. Diskontovaný úrok 1,32% při splácení této splátky před termínem, tj.:

Kde n se rovná očekávanému období. Nahrazením tohoto výrazu v předchozím máme:

Protože 820 se objevuje na obou stranách nerovnosti, můžeme tuto hodnotu zjednodušit a „snížit“ tuto hodnotu:

Můžeme převrátit zlomky, dáváme pozor, abychom také invertovali znak nerovnosti. Náš výraz je tedy:

Všimněte si, že hodnota, kterou chceme najít, je v exponentu (n). Proto k vyřešení nerovnosti použijeme přirozený logaritmus (ln) na obou stranách nerovnosti, tj.:

Nyní můžeme nahradit hodnoty uvedené v příkazu a najít hodnotu n:

Protože n musí být větší než nalezená hodnota, pak budeme muset očekávat 22 splátek, to znamená, že zaplatíme 30. splátku společně s 52. (30 + 22 = 52).

Alternativa: c) 52.

2) Enem - 2011

Mladý investor si musí vybrat, která investice mu přinese největší finanční návratnost v investici 500,00 R $. Za tímto účelem zkoumá příjmy a daň, které mají být zaplaceny ze dvou investic: spoření a CDB (bankovní vkladový certifikát). Získané informace jsou shrnuty v tabulce:

Pro mladého investora je na konci měsíce nejvýhodnější aplikace

a) úspory, protože celkem dosáhne 502,80 USD.
b) úspory, protože celková částka dosáhne 500,56 R $.
c) CDB, protože dosáhne celkové částky 504,38 R $.
d) CDB, protože dosáhne celkové částky 504,21 R $.
e) CDB, protože dosáhne celkové částky 500,87 R $.

Viz odpověď

Chcete-li zjistit, jaký je nejlepší výnos, vypočítáme si, kolik bude každý na konci měsíce. Začněme tedy výpočtem příjmů z úspor.

Vzhledem k problémovým datům máme:

c = 500,00 BRL
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 měsíc
M =?

Nahrazením těchto hodnot ve vzorci složeného úroku máme:

M = C (1 + i)^t
M_úspory = 500 (1 + 0,0056)¹
M_úspory = 500.1,0056
M_úspory = 502,80 BRL

Protože u tohoto typu aplikace není odpočet daně z příjmu, bude se jednat o uplatněnou částku.

Nyní vypočítáme hodnoty pro CDB. Pro tuto aplikaci je úroková sazba rovna 0,876% (0,00876). Nahrazením těchto hodnot máme:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = 504,38 BRL

Tato částka nebude částkou obdrženou investorem, protože v této aplikaci je 4% sleva, týkající se daně z příjmu, která by se měla uplatnit na přijatý úrok, jak je uvedeno níže:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Musíme vypočítat 4% z této hodnoty, stačí udělat:

4,38.0,04 = 0,1752

Uplatněním této slevy na hodnotu zjistíme:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternativa: d) CDB, protože dosáhne celkové částky 504,21 R $.

3) UERJ - 2017

Kapitál společnosti C reais byl investován se složeným úrokem 10% měsíčně a za tři měsíce vygeneroval částku 53 240 R $. Vypočítejte počáteční hodnotu C.

Viz odpověď

V problému máme následující data:

M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 za měsíc
t = 3 měsíce
C =?

Nahrazením těchto dat ve vzorci složeného úroku máme:

M = C (1 + i)^t
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 ° C

4) Fuvest - 2018

Maria chce koupit televizi, která se prodává za 1 500,00 R v hotovosti nebo ve 3 měsíčních bezúročných splátkách ve výši R 500,00. Peníze, které Maria vyčlenila na tento nákup, nestačí na zaplacení v hotovosti, ale zjistila, že banka nabízí finanční investici, která vydělává 1% měsíčně. Po provedení výpočtů dospěla Maria k závěru, že pokud zaplatí první splátku a ve stejný den použije zbývající částku, budete moci zaplatit dvě zbývající splátky, aniž byste museli dávat nebo brát cent ani. Kolik si Maria na tento nákup skutečně odložila?

a) 1450,20
b) 1 480,20
c) 1485,20
d) 1 495,20
e) 1 490,20

Viz odpověď

V tomto problému musíme provést ekvivalenci hodnot, to znamená, že známe budoucí hodnotu, která musí být zaplacena v každé splátce, a chceme znát současnou hodnotu (kapitál, který bude použit).

Pro tuto situaci použijeme následující vzorec:

Vzhledem k tomu, že aplikace by měla v době platby druhé splátky, což bude 1 měsíc po zaplacení první splátky, vydělat 500,00 BRL, máme:

K zaplacení třetí splátky ve výši 500,00 R bude částka použita po dobu 2 měsíců, takže použitá částka se bude rovnat:

Částka, kterou Maria vyčlenila na nákup, se tedy rovná součtu částek použitých s částkou první splátky, tj.:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1485,20

Alternativa: c) 1 485,20 BRL

5) UNESP - 2005

Mário si vzal půjčku ve výši 8 000,00 R za 5% úrok měsíčně. O dva měsíce později Mário splatil půjčku ve výši 5 000,00 R $ a měsíc po této výplatě splatil veškerý svůj dluh. Hodnota poslední platby byla:

a) 3015 BRL.
b) 3 820,00 BRL.
c) 4 011,00 BRL.
d) 5 011,00 BRL.
e) 5 250 BRL.

Viz odpověď

Víme, že půjčka byla splacena ve dvou splátkách a že máme následující údaje:

PROTI_P = 8000
i = 5% = 0,05 hod
PROTI_F1 = 5000
PROTI_F2 = x

Vzhledem k údajům a ekvivalenci velkých písmen máme:

Alternativa: c) 4 011,00 R $.

6) PUC / RJ - 2000

Banka účtuje za službu kontokorentu úrokovou sazbu 11% měsíčně. Za každých 100 přečerpání si banka účtuje v prvním měsíci 111, ve druhém 123,21 atd. Na částku 100 real bude banka na konci jednoho roku účtovat přibližně:

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

Viz odpověď

Z informací uvedených v problému jsme zjistili, že oprava částky účtované kontokorentem je složeným úrokem.

Upozorňujeme, že částka účtovaná za druhý měsíc byla vypočítána s ohledem na částku již opravenou za první měsíc, tj.:

J = 111. 0,11 = 12,21 BRL

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Chcete-li tedy zjistit částku, kterou bude banka účtovat na konci roku, použijeme vzorec složeného úroku, tj.:

M = C (1 + i)^t

Bytost:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 za měsíc
t = 1 rok = 12 měsíců
M = 100 (1 + 0,11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100,3 498

Alternativa: e) 350 reais

Chcete-li se o tomto tématu dozvědět více, přečtěte si také:

• Procento
• Jak vypočítat procento?
• Procentní cvičení
• Matematické vzorce
• Matematika v Enem