Výpočet kvadratické funkce

THE kvadratická funkce, také zvaný Polynomiální funkce 2. stupně, je funkce představovaná následujícím výrazem:

f (x) = sekera² + bx + c

Kde The, B a C jsou reálná čísla a The ≠ 0.

Příklad:

f (x) = 2x² + 3x + 5,

bytost,

a = 2
b = 3
c = 5

V tomto případě má polynom kvadratické funkce stupeň 2, protože je největším exponentem proměnné.

Jak vyřešit kvadratickou funkci?

Podívejte se na krok za krokem prostřednictvím příkladu řešení kvadratické funkce:

Příklad

Najděte a, bac v kvadratické funkci dané: f (x) = ax² + bx + c, přičemž:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Nejprve nahraďme X hodnotami každé funkce a tedy budeme mít:

f (-1) = 8
až 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (rovnice I)

f (0) = 4
The. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (rovnice II)

f (2) = 2
The. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (rovnice III)

U druhé funkce f (0) = 4 již máme hodnotu c = 4.

Nahraďme tedy získanou hodnotu C v rovnicích I a III k určení dalších neznámých (The a B):

(Rovnice I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Protože máme rovnici The rovnicí I, dosadíme do III, abychom určili hodnotu B:

(Rovnice III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Nakonec najít hodnotu The nahradíme hodnoty B a C které již byly nalezeny. Již brzy:

(Rovnice I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Proto jsou koeficienty dané kvadratické funkce:

a = 1
b = - 3
c = 4

Kořeny funkce

Kořeny nebo nuly funkce druhého stupně představují hodnoty x takové, že f (x) = 0. Kořeny funkce jsou určeny řešením rovnice druhého stupně:

f (x) = sekera² + bx + c = 0

K řešení rovnice 2. stupně můžeme použít několik metod, jednou z nejpoužívanějších je aplikace Bhaskara vzorec, tj:

Příklad

Najděte nuly funkce f (x) = x² - 5x + 6.

Řešení:

Bytost
a = 1
b = - 5
c = 6

Dosazením těchto hodnot do Bhaskarova vzorce máme:

Kořeny jsou tedy 2 a 3.

Všimněte si, že počet kořenů kvadratické funkce bude záviset na hodnotě získané výrazem: Δ = b² – 4. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM, kterému se říká diskriminující.

Tím pádem,

• -li Δ > 0, funkce bude mít dva skutečné a odlišné kořeny (x₁ ≠ x₂);
• -li Δ, funkce nebude mít skutečný kořen;
• -li Δ = 0, funkce bude mít dva skutečné a stejné kořeny (x₁ = x₂).

Graf kvadratické funkce

Graf funkcí druhého stupně jsou křivky, které se nazývají paraboly. odlišný od Funkce 1. stupně, kde při znalosti dvou bodů je možné nakreslit graf, u kvadratických funkcí je nutné znát několik bodů.

Křivka kvadratické funkce ořezává osu x u kořenů nebo nul funkce, maximálně ve dvou bodech v závislosti na hodnotě diskriminátoru (Δ). Takže máme:

• Pokud Δ> 0, graf ořízne osu x ve dvou bodech;
• Pokud Δ
• Pokud Δ = 0, parabola se dotkne osy x pouze v jednom bodě.

Existuje ještě další bod, který se nazývá vrchol paraboly, což je maximální nebo minimální hodnota funkce. Tento bod lze nalézt pomocí následujícího vzorce:

Vrchol bude představovat bod maximální hodnoty funkce, když parabola směřuje dolů a minimální hodnota, když směřuje nahoru.

Je možné identifikovat polohu konkávnosti křivky analýzou pouze znaménka koeficientu The. Pokud je koeficient kladný, konkávnost bude směřovat nahoru a pokud bude záporná, bude klesat, to znamená:

Abychom tedy načrtli graf funkce druhého stupně, můžeme analyzovat hodnotu The, vypočítá nuly funkce, její vrchol a také bod, kde křivka prořízne osu y, tj. když x = 0.

Z daných uspořádaných párů (x, y) můžeme sestrojit číslo paraboly Kartézské letadloprostřednictvím spojení mezi nalezenými body.

Cvičení na přijímací zkoušky se zpětnou vazbou

1. (Vunesp-SP) Všechny možné hodnoty m které uspokojí dvojnásobnou nerovnost² - 20x - 2m> 0, pro všechny X patřící do souboru reais, jsou dány:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Viz odpověď

Alternativa b) m> 25

2. (EU-CE) Graf kvadratické funkce f (x) = ax² + bx je parabola, jejíž vrchol je bod (1, - 2). Počet prvků množiny x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)}, které patří do grafu této funkce, je:

až 1
b) 2
c) 3
d) 4

Viz odpověď

Alternativa b) 2

3. (Cefet-SP) S vědomím, že rovnice systému jsou x. y = 50 a x + y = 15, možné hodnoty pro X a y oni jsou:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10.5), (10.5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Viz odpověď

Alternativní e) {(5.10), (10.5)}

Přečtěte si také:

• Rovnice prvního stupně
• Rovnice druhého stupně
• Související funkční cvičení
• Rovnice pro střední školy - cvičení
• Modulární funkce
• Exponenciální funkce
• Polynomiální funkce
• Složená funkce
• Funkce vstřikovače
• Funkce bijektoru
• Funkce overjet
• inverzní funkce
• Kvadratická funkce - cvičení
• Polynomy
• Polynomiální faktoring
• Exponenciální funkce - cvičení
• Matematika v Enem
• Matematické vzorce