Vše o rovnici 2. stupně

THE rovnice druhého stupně dostane své jméno, protože se jedná o polynomickou rovnici, jejíž nejvyšší stupeň je na druhou. Také se nazývá kvadratická rovnice, představuje ji:

sekera² + bx + c = 0

V rovnici 2. stupně je X je neznámá a představuje neznámou hodnotu. už texty The, B a C se nazývají rovnice.

Koeficienty jsou reálná čísla a koeficient The musí se lišit od nuly, jinak se stane rovnicí 1. stupně.

Řešení rovnice druhého stupně znamená hledat skutečné hodnoty X, které činí rovnici pravdivou. Tyto hodnoty se nazývají kořeny rovnice.

Kvadratická rovnice má nanejvýš dva skutečné kořeny.

Dokončete a neúplné středoškolské rovnice

Rovnice 2. stupně kompletní jsou ty, které mají všechny koeficienty, tj. a, bac se liší od nuly (a, b, c ≠ 0).

Například 5x rovnice² + 2x + 2 = 0 je kompletní, protože všechny koeficienty jsou nenulové (a = 5, b = 2 a c = 2).

Kvadratická rovnice je neúplný když b = 0 nebo c = 0 nebo b = c = 0. Například rovnice 2x² = 0 je neúplné, protože a = 2, b = 0 a c = 0

Vyřešená cvičení

1) Určete hodnoty X které tvoří rovnici 4x² - 16 = 0 pravda.

Řešení:

Daná rovnice je neúplná rovnice 2. stupně s b = 0. U rovnic tohoto typu můžeme vyřešit izolací X. Tím pádem:

Druhá odmocnina 4 může být 2 a - 2, protože tato dvě čtvercová čísla mají za následek 4.

Kořeny 4x rovnice² - 16 = 0 jsou x = - 2 a x = 2

2) Najděte hodnotu x tak, aby se plocha obdélníku níže rovnala 2.

Řešení:

Plocha obdélníku se zjistí vynásobením základny výškou. Musíme tedy dané hodnoty vynásobit a rovnat 2.

(x - 2). (x - 1) = 2

Nyní pojďme znásobit všechny pojmy:

X. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
X² - 1x - 2x + 2 = 2
X² - 3x + 2 - 2 = 0
X² - 3x = 0

Po vyřešení násobení a zjednodušení najdeme neúplnou kvadratickou rovnici s c = 0.

Tento typ rovnice lze vyřešit pomocí faktorizace, protože X se opakuje v obou termínech. Takže to uvedeme jako důkaz.

X. (x - 3) = 0

Aby se produkt rovnal nule, buď x = 0 nebo (x - 3) = 0. Avšak nahrazení X nulou jsou rozměry stran záporné, takže tato hodnota nebude odpovědí na otázku.

Máme tedy, že jediný možný výsledek je (x - 3) = 0. Řešení této rovnice:

x - 3 = 0
x = 3

Tímto způsobem se hodnota X takže plocha obdélníku se rovná 2 je x = 3.

Bhaskara vzorec

Když je kvadratická rovnice úplná, použijeme Bhaskara vzorec najít kořeny rovnice.

Vzorec je uveden níže:

Delta vzorec

V Bhaskarově vzorci se objevuje řecké písmeno Δ (delta), který se nazývá diskriminační rovnice, protože podle její hodnoty je možné znát počet kořenů, které rovnice bude mít.

Pro výpočet delty použijeme následující vzorec:

Krok za krokem

Abychom vyřešili rovnici 2. stupně pomocí Bhaskarova vzorce, musíme postupovat podle těchto kroků:

1. krok: Určete koeficienty The, B a C.

Termíny rovnice se ne vždy objevují ve stejném pořadí, takže je důležité vědět, jak identifikovat koeficienty, bez ohledu na pořadí, ve kterém jsou.

koeficient The je číslo, které jde s x², O B je číslo, které doprovází X to je C je nezávislý člen, tj. číslo, které se objeví bez x.

2. krok: Vypočítejte deltu.

Pro výpočet kořenů je nutné znát hodnotu delty. Za tímto účelem nahradíme písmena ve vzorci hodnotami koeficientů.

Z delta hodnoty můžeme předem vědět počet kořenů, které bude mít rovnice 2. stupně. To znamená, že pokud je hodnota Δ větší než nula (Δ > 0), rovnice bude mít dva skutečné a odlišné kořeny.

Pokud je naopak delta menší než nula (Δ), rovnice nebude mít skutečné kořeny a pokud je rovna nule (Δ = 0), rovnice bude mít pouze jeden kořen.

3. krok: Vypočítejte kořeny.

Pokud je hodnota nalezená pro deltu záporná, nemusíte provádět žádné další výpočty a odpověď je, že rovnice nemá žádné skutečné kořeny.

Pokud je hodnota delta rovná nebo větší než nula, musíme ve Bhaskarově vzorci nahradit všechna písmena jejich hodnotami a vypočítat kořeny.

Cvičení vyřešeno

Určete kořeny rovnice 2x² - 3x - 5 = 0

Řešení:

Abychom to vyřešili, musíme nejprve identifikovat koeficienty, takže máme:
a = 2
b = - 3
c = - 5

Nyní můžeme najít hodnotu delta. Musíme být opatrní s pravidly znamení a pamatovat na to, že musíme nejprve vyřešit potenciaci a násobení a poté sčítání a odčítání.

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

Protože nalezená hodnota je kladná, najdeme pro kořeny dvě odlišné hodnoty. Bhaskarův vzorec tedy musíme vyřešit dvakrát. Takže máme:

Takže kořeny 2x rovnice² - 3x - 5 = 0 jsou x = 5/2 a x = - 1.

Systém rovnic 2. stupně

Když chceme najít hodnoty dvou různých neznámých, které současně splňují dvě rovnice, máme a soustava rovnic.

Rovnice, které tvoří systém, mohou být 1. stupně a 2. stupně. K vyřešení tohoto druhu systému můžeme použít substituční metodu a metodu sčítání.

Cvičení vyřešeno

Vyřešte systém níže:

Řešení:

K vyřešení systému můžeme použít metodu sčítání. V této metodě přidáme podobné výrazy z 1. rovnice s termíny z 2. rovnice. Takže redukujeme systém na jedinou rovnici.

Stále můžeme zjednodušit všechny výrazy rovnice o 3 a výsledkem bude rovnice x² - 2x - 3 = 0. Při řešení rovnice máme:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

Po nalezení hodnot x nezapomeňme, že ještě musíme najít hodnoty y, díky nimž je systém pravdivý.

Chcete-li to provést, stačí nahradit hodnoty nalezené pro x v jedné z rovnic.

y₁ - 6. 3 = 4
y₁ = 4 + 18
y₁ = 22

y₂ - 6. (-1) = 4
y₂ + 6 = 4
y₂ = - 2

Proto jsou hodnoty, které vyhovují navrhovanému systému (3, 22) a (-1, - 2)

Mohlo by vás také zajímat Rovnice prvního stupně.

Cvičení

Otázka 1

Vyřešte úplnou kvadratickou rovnici pomocí Bhaskarova vzorce:

2x² + 7x + 5 = 0

Viz odpověď

Nejprve je důležité dodržet každý koeficient v rovnici, proto:

a = 2
b = 7
c = 5

Prostřednictvím vzorce diskriminátoru rovnice musíme najít hodnotu Δ.

Toto je později najít kořeny rovnice pomocí obecného vzorce nebo Bhaskarova vzorce:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

Všimněte si, že pokud je hodnota Δ větší než nula (Δ > 0), rovnice bude mít dva skutečné a odlišné kořeny.

Po nalezení Δ jej tedy nahraďme Bhaskarovým vzorcem:

Proto jsou hodnoty dvou skutečných kořenů: X₁ = - 1 a X₂ = - 5/2

Podívejte se na další otázky na Rovnice pro střední školy - cvičení

otázka 2

Vyřešte neúplné rovnice druhého stupně:

a) 5x² - x = 0

Viz odpověď

Nejprve hledáme koeficienty rovnice:

a = 5
b = - 1
c = 0

Jedná se o neúplnou rovnici, kde c = 0.

K jeho výpočtu můžeme použít faktorizaci, která v tomto případě uvede x jako důkaz.

5x² - x = 0
X. (5x-1) = 0
V této situaci bude produkt roven nule, když x = 0 nebo když 5x -1 = 0. Pojďme tedy vypočítat hodnotu x:

Kořeny rovnice jsou X₁ = 0 a X₂ = 1/5.

b) 2x² – 2 = 0

Viz odpověď

a = 2
b = 0
c = - 2

Jedná se o neúplnou rovnici druhého stupně, kde b = 0, její výpočet lze provést izolováním x:

X₁ = 1 a x₂ = - 1

Takže dva kořeny rovnice jsou X₁ = 1 a X₂ = - 1

c) 5x² = 0

Viz odpověď

a = 5
b = 0
c = 0

V tomto případě neúplná rovnice představuje koeficienty b a c rovné nule (b = c = 0):

Kořeny této rovnice tedy mají hodnoty X₁ = X₂ = 0

Chcete-li se dozvědět více, přečtěte si také:

• Kvadratická funkce
• Součet a produkt
• nerovnost
• iracionální rovnice
• Vrchol paraboly