Numerická sada cvičení

Vy číselné množiny zahrnují následující sady: Přirozené (ℕ), Celá čísla (ℤ), Rationals (ℚ), Iracionální (I), Skutečné (ℝ) a Komplexy (ℂ).

Využijte komentovaná cvičení a ověřte si své znalosti o tomto důležitém předmětu matematiky.

Otázka 1

Která nabídka níže je pravdivá?

a) Každé celé číslo je racionální a každé reálné číslo je celé číslo.
b) Průnik množiny racionálních čísel se sadou iracionálních čísel má 1 prvek.
c) Číslo 1.83333... je racionální číslo.
d) Dělení dvou celých čísel je vždy celé číslo.

Viz odpověď

Správná alternativa: c) Číslo 1.83333... je racionální číslo.

Podívejme se na každé z prohlášení:

a) Nepravda. Ve skutečnosti je každé celé číslo racionální, protože může být napsáno ve formě zlomku. Například číslo -7, což je celé číslo, lze zapsat jako zlomek jako -7/1. Ne každé reálné číslo je však celé číslo, například 1/2 není celé číslo.

b) Nepravda. Sada racionálních čísel nemá žádné společné číslo s iracionálními, protože skutečné číslo je racionální nebo iracionální. Proto je křižovatka prázdná množina.

c) Pravda. Číslo 1.83333... je to periodický desátek, protože číslice 3 se nekonečně opakuje. Toto číslo lze zapsat jako zlomek jako 11/6, takže jde o racionální číslo.

d) Nepravda. Například 7 děleno 3 se rovná 2,33333..., což je periodické desetinné číslo, takže nejde o celé číslo.

otázka 2

Hodnota níže uvedeného výrazu, když a = 6 a b = 9, je:

a) liché přirozené číslo
b) číslo, které patří do množiny iracionálních čísel
c) není skutečné číslo
d) celé číslo, jehož modul je větší než 2

Viz odpověď

Správná alternativa: d) celé číslo, jehož modul je větší než 2.

Nejprve nahraďme písmena uvedenými hodnotami a vyřešíme výraz:

Všimněte si, že (-6)² se liší od - 6², první operaci lze provést jako: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Bez závorek je pouze 6 na druhou, tj. - 6² = - (6.6) = -36.

V pokračování řešení máme:

Všimněte si, že protože index kořene je liché číslo (krychlový kořen), existuje záporný počet kořenů v sadě reálných čísel. Pokud by byl kořenový index sudé číslo, výsledkem by bylo komplexní číslo.

Pojďme analyzovat každou z nabízených možností:

Možnost The je špatné, protože odpověď je záporné číslo, které není součástí množiny přirozených čísel.

Číslo - 3 není nekonečné neperiodické desetinné číslo, proto není iracionální, proto písmeno B není to ani správné řešení.

Dopis C je také špatné, protože číslo - 3 je číslo patřící do množiny reálných čísel.

Správnou možností může být pouze písmeno d a ve skutečnosti je výsledkem výrazu celé číslo a modulo -3 je 3, což je větší než 2.

otázka 3

Která alternativa v sadách (A a B) v následující tabulce představuje vztah zahrnutí?

Viz odpověď

Správná alternativa: a)

Alternativa „a“ je jediná, ve které je jedna sada zahrnuta do jiné. Sada A zahrnuje sadu B nebo Sada B je součástí A.

Které výroky jsou tedy správné?

I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A

a) I a II.
b) I a III.
c) I a IV.
d) II a III.
e) II a IV

Viz odpověď

Správná alternativa: d) II a III.

I - špatně - A není obsažen v B (A Ȼ B).
II - Správně - B je obsažen v A (B C A).
III - správně - A obsahuje B (B Ɔ A).
IV - Špatné - B neobsahuje A (B ⊅ A).

otázka 4

Máme množinu A = {1, 2, 4, 8 a 16} a množinu B = {2, 4, 6, 8 a 10}. Kde jsou podle alternativ umístěny prvky 2, 4 a 8?

Viz odpověď

Správná alternativa: c).

Prvky 2, 4 a 8 jsou společné pro obě sady. Proto se nacházejí v podmnožině A ∩ B (průsečík A s B).

otázka 5

Vzhledem k množinám A, B a C, který obrázek představuje A U (B ∩ C)?

Viz odpověď

Správná alternativa: d)

Jediná alternativa, která splňuje počáteční podmínku B ∩ C (kvůli závorkám) a později spojení s A.

otázka 6

Byl proveden průzkum za účelem zjištění nákupních návyků spotřebitelů ve vztahu ke třem produktům. Výzkum získal následující výsledky:

• 40% koupit produkt A.
• 25% koupit produkt B.
• 33% koupit produkt C.
• 20% nakupuje produkty A a B.
• 5% nakupuje produkty B a C.
• 19% nakupuje produkty A a C.
• 2% nakupují všechny tři produkty.

Na základě těchto výsledků odpovězte:

a) Jaké procento respondentů nekoupí žádný z těchto produktů?
b) Jaké procento respondentů kupuje produkt A a B a nekupuje produkt C?
c) Jaké procento respondentů kupuje alespoň jeden z produktů?

Viz odpověď

Odpovědi:
a) 44% respondentů nekonzumuje žádný ze tří produktů.
b) 18% lidí, kteří konzumují oba produkty (A i B), produkt C.
c) 56% respondentů konzumuje alespoň jeden z produktů.

Abychom tento problém vyřešili, vytvořme diagram pro lepší vizualizaci situace.

Vždy musíme začínat na křižovatce tří sad. Pak zahrneme hodnotu průniku dvou sad a nakonec procento lidí, kteří kupují pouze jednu značku produktu.

Je zaznamenáno, že procento lidí, kteří konzumují dva produkty, zahrnuje také procento lidí, kteří konzumují tyto tři produkty.

Proto v diagramu označujeme procento těch, kteří konzumují pouze dva produkty. K tomu musíme odečíst procento těch, kteří konzumují tři produkty, od těch, kteří konzumují dva.

Například uvedené procento, které spotřebovává produkt A a produkt B, je 20%, avšak tato hodnota se připočítá k 2% souvisejícímu s tím, kdo konzumuje tyto tři produkty.

Odečtením těchto hodnot, tj. 20% - 2% = 18%, zjistíme procento spotřebitelů, kteří nakupují pouze produkty A a B.

Vzhledem k těmto výpočtům bude diagram popsané situace vypadat tak, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Na základě tohoto diagramu můžeme nyní odpovědět na navrhované otázky.

The) Procento těch, kteří nekoupí žádný produkt, se rovná celku, tj. 100% kromě toho, že jakýkoli produkt konzumují. Musíme tedy provést následující výpočet:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Již brzy, 44% respondentů nekonzumuje žádný ze tří produktů.

B) Procento spotřebitelů, kteří kupují produkt A a B a nekupují produkt C, se zjistí odečtením:

20 - 2 = 18%

Proto, 18% lidí, kteří konzumují oba produkty (A i B), produkt C..

C) Chcete-li zjistit procento lidí, kteří konzumují alespoň jeden z produktů, jednoduše sečtěte všechny hodnoty v diagramu. Takže máme:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Tím pádem, 56% respondentů konzumuje alespoň jeden z produktů.

otázka 7

(Enem / 2004) Výrobce kosmetiky se rozhodl vyrobit tři různé katalogy svých produktů zaměřené na různé cílové skupiny. Jelikož některé produkty budou přítomny ve více než jednom katalogu a zabírají celou stránku, rozhodl se snížit počet u tiskových originálů. Katalogy C1, C2 a C3 budou mít 50, 45 a 40 stran. Porovnáním návrhů z každého katalogu zjistí, že C1 a C2 budou mít 10 společných stránek; C1 a C3 budou mít 6 společných stránek; C2 a C3 budou mít 5 společných stránek, z nichž 4 budou také na C1. Provedením odpovídajících výpočtů dospěl výrobce k závěru, že pro sestavení tří katalogů bude potřebovat celkem tiskových originálů rovných:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Viz odpověď

Správná alternativa: c) 118

Tuto otázku můžeme vyřešit sestavením diagramu. Začněme tedy stránkami, které jsou společné pro tři katalogy, tedy 4 stránky.

Odtud označíme hodnoty odečtením těch, které již byly započítány. Schéma bude tedy uvedeno níže:

Hodnoty byly nalezeny pomocí následujících výpočtů:

• Křižovatka C1, C2 a C3: 4
• Křižovatka C2, C3: 5 - 4 = 1
• Křižovatka C1 a C3: 6 - 4 = 2
• Křižovatka C1 a C2: 10 - 4 = 6
• Pouze C1: 50 - 12 = 38
• Pouze C2: 45 - 11 = 34
• Pouze C3: 40 - 7 = 33

Chcete-li zjistit počet stránek, přidejte všechny tyto hodnoty, tj.:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

otázka 8

(Enem / 2017) V tomto modelu teploměru filé zaznamenávají minimální a maximální teploty předchozího dne a šedá zaoblení zaznamenávají aktuální teplotu okolí, tj. v době čtení teploměr.

Má tedy dva sloupce. Vlevo jsou čísla ve vzestupném pořadí, shora dolů, od -30 ° C do 50 ° C. Ve sloupci vpravo jsou čísla řazena vzestupně, zdola nahoru, od -30 ° C do 50 ° C.

Čtení se provádí následovně:

• minimální teplota je označena spodní úrovní černého zaoblení v levém sloupci.
• maximální teplota je indikována spodní úrovní černého zaoblení v pravém sloupci.
• aktuální teplota je označena nejvyšší úrovní v šedých zaobleních ve dvou sloupcích.

Jaká je nejbližší maximální teplota zaznamenaná na tomto teploměru?

a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C

Viz odpověď

Správná alternativa: e) 19 ° C

Chcete-li tento problém vyřešit, přečtěte si měřítko v pravém sloupci černého zaoblení, které představuje záznam maximální teploty.

otázka 9

(Enem / 2017) Výsledek volebního průzkumu o preferencích voličů ve vztahu ke dvěma kandidátům byl představen pomocí grafu 1.

Když byl tento výsledek publikován v novinách, graf 1 byl během rozložení vystřižen, jak ukazuje graf 2.

Ačkoli uvedené hodnoty jsou správné a šířka sloupců je stejná, mnoho čtenářů kritizoval formát Grafu 2 vytištěný v novinách a tvrdil, že došlo k vizuálnímu poškození kandidáta B. Rozdíl mezi výškovými poměry sloupce B ke sloupci A v grafech 1 a 2 je:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35

Viz odpověď

Správná alternativa: e) 8/35

Abychom tento problém vyřešili, musíme nejprve najít poměr výšky sloupce B ke sloupci A ve dvou grafech. Tyto poměry se zjistí spočítáním počtu divizí v každém sloupci.

Všimněte si, že v grafu 1 je sloupec A rozdělen na 7 stejných „kusů“, zatímco sloupec B na 3. V grafu 2 je sloupec A rozdělen na 5 stejných „kusů“ a sloupec B pouze na 1.

Proto mohou být zlomky, které představují poměry výšky sloupce B ke sloupci A, označeny

Nyní jen vyřešte odčítání mezi těmito dvěma zlomky, takže máme:

otázka 10

(Enem / 2018) Chcete-li vytvořit logo, chce jej profesionál v oblasti grafického designu postavit pomocí sady rovinných bodů ve tvaru trojúhelníku, přesně tak, jak je znázorněno na obrázku.

K vytvoření takového obrázku pomocí grafického nástroje bude nutné algebraicky napsat množinu, která představuje body této grafiky.

Tato množina je dána seřazenými páry (x; y) ℕ X ℕ, takový, že
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20

Viz odpověď

Správná alternativa: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Všimněte si, že číslo vyjádřené v otázce, jak na ose ya x, obsahuje přirozená čísla (ℕ X ℕ) mezi 0 a 10. Musíme: 0 ≤ y ≤ 10 a 0 ≤ x ≤ 10.

Tedy: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) a x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Vyobrazený obrázek je však trojúhelník. Pro splnění této podmínky, v uspořádaných párech y nemůže být větší než x.

Všimněte si, že hodnoty y jsou omezeny rovností s hodnotami x, které tvoří přeponu tohoto pravoúhlého trojúhelníku: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).

Musíme tedy: y ≤ x.

Již brzy, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

Chcete-li se dozvědět více, přečtěte si také:

• Numerické množiny
• reálná čísla
• Celá čísla
• Racionální čísla
• iracionální čísla
• Přirozená čísla
• Složitá čísla
• Cvičení na sadách
• Cvičení na komplexní čísla