Systémy rovnic 1. stupně: komentovaná a vyřešená cvičení

Systémy rovnic 1. stupně jsou tvořeny množinou rovnic, které představují více než jednu neznámou.

Řešení systému spočívá v nalezení hodnot, které splňují všechny tyto rovnice současně.

Mnoho problémů je řešeno soustavou rovnic. Proto je důležité znát metody řešení pro tento typ výpočtu.

Využijte vyřešená cvičení a vyřešte všechny své pochybnosti týkající se tohoto tématu.

Komentované a vyřešené problémy

1) Námořní učni - 2017

Součet čísla x a dvojnásobku čísla y je - 7; a rozdíl mezi trojitým číslem x a číslem y se rovná 7. Proto je správné uvést, že součin xy se rovná:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Viz odpověď

Začněme vytvořením rovnic s ohledem na situaci navrhovanou v problému. Máme tedy:

x + 2.y = - 7 a 3.x - y = 7

Hodnoty x a y musí splňovat obě rovnice současně. Proto tvoří následující systém rovnic:

Tento systém můžeme vyřešit metodou sčítání. Za tímto účelem vynásobme druhou rovnici 2:

Přidání dvou rovnic:

Dosazením hodnoty x nalezené v první rovnici máme:

1 + 2r = - 7
2y = - 7 - 1

Produkt xy se tedy bude rovnat:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternativa: d) - 4

2) Vojenská vysoká škola / RJ - 2014

Vlak jede z jednoho města do druhého vždy konstantní rychlostí. Je-li cesta provedena s rychlostí vyšší o 16 km / h, čas strávený se sníží o dvě a půl hodiny, a pokud je jízda uskutečněna s rychlostí nižší o 5 km / h, čas se zvýší o jednu hodinu. Jaká je vzdálenost mezi těmito městy?

a) 1200 km
b) 1 000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Viz odpověď

Protože rychlost je konstantní, můžeme použít následující vzorec:

Poté se vzdálenost zjistí takto:

d = v.t.

Pro první situaci máme:

proti₁ = v + 16 at₁ = t - 2,5

Nahrazení těchto hodnot ve vzorci vzdálenosti:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

Můžeme v.t nahradit rovnicí d a zjednodušit:

-2,5v + 16t = 40

Pro situaci, kdy rychlost klesá:

proti₂ = v - 5 at₂ = t + 1

Stejná náhrada:

d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

S těmito dvěma rovnicemi můžeme sestavit následující systém:

Řešení systému substituční metodou, pojďme izolovat v ve druhé rovnici:

v = 5 + 5 t

Nahrazení této hodnoty v první rovnici:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5 t + 16 t = 40
3,5 t = 40 + 12,5
3,5 t = 52,5

Pojďme tuto hodnotu nahradit rychlostí:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h

Chcete-li zjistit vzdálenost, jednoduše vynásobte nalezené hodnoty rychlosti a času. Tím pádem:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternativa: a) 1200 km

3) Námořní učni - 2016

Student zaplatil občerstvení 8 reais v 50 centech a 1 reais. S vědomím, že pro tuto platbu student použil 12 mincí, určete částky 50 centů a jedna skutečná mince, které byly použity k zaplacení občerstvení a zaškrtněte správnou možnost.

a) 5 a 7
b) 4 a 8
c) 6 a 6
d) 7 a 5
e) 8 a 4

Viz odpověď

Vezmeme-li x počet 50 centových mincí, y počet 1 dolarových mincí a zaplacenou částku rovnou 8 reaům, můžeme napsat následující rovnici:

0,5x + 1y = 8

Víme také, že při platbě bylo použito 12 mincí, takže:

x + y = 12

Sestavení a řešení systému přidáním:

Nahrazení nalezené hodnoty x v první rovnici:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativa: e) 8 a 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Z krabice obsahující B bílé kuličky a P černé kuličky bylo odstraněno 15 bílých kuliček, přičemž mezi zbývajícími kuličkami zůstal poměr 1 bílé k 2 černým. Poté bylo odstraněno 10 černochů, přičemž v krabici zůstalo množství koulí v poměru 4 bílé k 3 černým. Systém rovnic pro určování hodnot B a P lze reprezentovat:

Viz odpověď

Vzhledem k první situaci uvedené v problému máme následující poměr:

Vynásobením tohoto podílu „křížkem“ máme:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Udělejme totéž pro následující situaci:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45-40
3B - 4P = 5

Spojením těchto rovnic do systému najdeme odpověď na problém.

Alternativa: a)

5) Faetec - 2012

Carlos vyřešil za jeden víkend o 36 matematických cvičení více než Nilton. S vědomím, že celkový počet cvičení vyřešených oběma bylo 90, je počet cvičení, které Carlos vyřešil, roven:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Viz odpověď

Vezmeme-li x jako počet cvičení vyřešených Carlosem a y jako počet cvičení vyřešených Niltonem, můžeme nastavit následující systém:

Dosazením x za y + 36 ve druhé rovnici máme:

y + 36 + y = 90
2y = 90-36

Nahrazení této hodnoty v první rovnici:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativa: a) 63

6) Enem / PPL - 2015

Stan na střílení terčů v zábavním parku dá účastníkovi cenu 20 $ za každé zasažení terče. Na druhou stranu, pokaždé, když minul cíl, musí zaplatit 10,00 $. Hraní hry není zpoplatněno. Jeden účastník vystřelil 80 ran a nakonec získal 100,00 R $. Kolikrát tento účastník zasáhl cíl?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Viz odpověď

Kde x je počet výstřelů, které zasáhly cíl a y je počet nesprávných výstřelů, máme následující systém:

Můžeme tento systém vyřešit metodou sčítání, vynásobíme všechny členy druhé rovnice 10 a přidáme dvě rovnice:

Účastník tedy zasáhl cíl 30krát.

Alternativa: a) 30

7) Enem - 2000

Pojišťovací společnost shromáždila údaje o automobilech v konkrétním městě a zjistila, že každý rok je ukradeno průměrně 150 automobilů. Počet odcizených vozů značky X je dvojnásobný oproti počtu odcizených vozů značky Y a značky X a Y dohromady tvoří přibližně 60% odcizených automobilů. Očekávaný počet ukradených vozů značky Y je:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Viz odpověď

Problém naznačuje, že počet ukradených aut značek x a y dohromady odpovídá 60% z celkového počtu, takže:

150.0,6 = 90

Vzhledem k této hodnotě můžeme napsat následující systém:

Dosazením hodnoty x ve druhé rovnici máme:

2y + y = 90
3y = 90

Alternativa: b) 30

Podívejte se také: Cvičení na rovnici 1. stupně s neznámým