Podobnost trojúhelníků: Komentovaná a vyřešená cvičení

THE trojúhelníková podoba se používá k nalezení neznámé míry jednoho trojúhelníku pomocí znalosti míry jiného trojúhelníku.

Jsou-li si dva trojúhelníky podobné, jsou rozměry jejich odpovídajících stran proporcionální. Tento vztah se používá k řešení mnoha problémů s geometrií.

Využijte tedy komentovaná a vyřešená cvičení a vyřešte všechny své pochybnosti.

Problémy vyřešeny

1) Námořnický učeň - 2017

Viz obrázek níže

Budova vrhá na zem 30 m dlouhý stín ve stejném okamžiku, kdy 6 m vysoká osoba vrhá stín 2,0 m. Dá se říci, že výška budovy stojí za to

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Viz odpověď

Můžeme uvažovat, že budova, její promítaný stín a sluneční paprsek tvoří trojúhelník. Podobně máme také trojúhelník, který tvoří osoba, její stín a sluneční paprsek.

Vezmeme-li v úvahu, že sluneční paprsky jsou rovnoběžné a úhel mezi budovou a zemí a osobou je půda se rovná 90 °, trojúhelníky uvedené na obrázku níže jsou podobné (dva úhly se rovná).

Vzhledem k tomu, že trojúhelníky jsou podobné, můžeme napsat následující poměr:

Alternativa: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Na obrázku má obdélník ABCD strany délky AB = 4 a BC = 2. Nechť M je střed strany a N střed strany . Segmenty zachytit segment v bodech E a F.

Plocha trojúhelníku AEF se rovná

Viz odpověď

Plochu trojúhelníku AEF lze najít zmenšením plochy trojúhelníku ABE z oblasti trojúhelníku AFB, jak je znázorněno níže:

Začněme hledáním oblasti trojúhelníku AFB. Za tímto účelem musíme zjistit hodnotu výšky tohoto trojúhelníku, protože je známa základní hodnota (AB = 4).

Všimněte si, že trojúhelníky AFB a CFN jsou podobné v tom, že mají dva stejné úhly (případ AA), jak je znázorněno na obrázku níže:

Vyneseme výšku H₁, vzhledem ke straně AB, v trojúhelníku AFB. Protože míra strany CB je rovna 2, můžeme uvažovat, že relativní výška strany NC v trojúhelníku FNC se rovná 2 - H₁.

Potom můžeme napsat následující poměr:

Známe-li výšku trojúhelníku, můžeme vypočítat jeho plochu:

Chcete-li najít oblast trojúhelníku ABE, budete také muset vypočítat jeho výškovou hodnotu. K tomu využijeme skutečnosti, že trojúhelníky ABM a AOE uvedené na obrázku níže jsou podobné.

Navíc trojúhelník OEB je pravý trojúhelník a další dva úhly jsou stejné (45 °), takže jde o rovnoramenný trojúhelník. Dvě nohy tohoto trojúhelníku tedy mají hodnotu H.₂, jako obrázek níže:

Boční AO trojúhelníku AOE se tedy rovná 4 - H_2. Na základě těchto informací můžeme určit následující poměr:

Známe-li hodnotu výšky, můžeme nyní vypočítat plochu trojúhelníku ABE:

Plocha trojúhelníku AFE se tedy bude rovnat:

Alternativa: d)

3) Cefet / MG - 2015

Následující obrázek představuje obdélníkový kulečníkový stůl se šířkou a délkou rovnou 1,5, respektive 2,0 m. Hráč musí odhodit bílou kouli z bodu B a zasáhnout černou kouli v bodě P, aniž by nejprve zasáhl kteroukoli z ostatních. Jelikož je žlutá v bodě A, hodí tento hráč bílou kouli do bodu L, aby se mohla odrazit a narazit do černé.

Pokud je úhel dráhy dopadu míče na straně stolu a úhel odrazu stejný, jak je znázorněno na obrázku, pak je vzdálenost od P do Q v cm přibližně

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Viz odpověď

Trojúhelníky označené červeně na obrázku níže jsou podobné, protože mají dva stejné úhly (úhel rovný α a úhel rovný 90 °).

Můžeme tedy napsat následující poměr:

Alternativa: a) 67

4) Vojenská vysoká škola / RJ - 2015

V trojúhelníku ABC patří body D a E ke stranám AB a AC a jsou takové, že DE / / BC. Pokud F je bod AB takový, že EF / / CD a měření AF a FD e jsou 4 a 6, měření segmentu DB je:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Viz odpověď

Můžeme reprezentovat trojúhelník ABC, jak je znázorněno níže:

Protože segment DE je rovnoběžný s BC, pak jsou trojúhelníky ADE a ABC podobné v tom, že jejich úhly jsou shodné.

Potom můžeme napsat následující poměr:

Trojúhelníky FED a DBC jsou také podobné, protože segmenty FE a DC jsou rovnoběžné. Platí tedy i následující poměr:

Izolací y v tomto poměru máme:

Nahrazení hodnoty y v první rovnosti:

Alternativa: a) 15

5) Epcar - 2016

Země ve tvaru pravoúhlého trojúhelníku bude rozdělena na dvě části plotem vytvořeným na půle přepony, jak je znázorněno na obrázku.

Je známo, že strany AB a BC tohoto terénu měří 80 ma 100 m. Poměr mezi obvodem šarže I a obvodem šarže II je tedy v tomto pořadí

Viz odpověď

Abychom zjistili poměr mezi obvody, potřebujeme znát hodnotu všech stran obrázku I a obrázku II.

Všimněte si, že osa přepony rozděluje stranu BC na dva shodné segmenty, takže segmenty CM a MB měří 50 m.

Protože trojúhelník ABC je obdélník, můžeme vypočítat boční AC pomocí Pythagorovy věty. Všimněte si však, že tento trojúhelník je Pythagorovský trojúhelník.

Proto je přepona rovna 100 (5. 20) a jedna dvě nohy rovná 80 (4,20), pak druhá noha může být rovna pouze 60 (3,20).

Rovněž jsme zjistili, že trojúhelníky ABC a MBP jsou podobné (případ AA), protože mají společný úhel a druhý rovný 90 °.

Abychom tedy našli hodnotu x, můžeme napsat následující poměr:

Hodnotu z lze najít vzhledem k poměru:

Můžeme také najít hodnotu y provedením:

Nyní, když známe všechny strany, můžeme vypočítat obvody.

Obvod obrázku I:

Obvod obrázku II:

Proto bude poměr mezi obvody roven:

Alternativa: d)

6) Enem - 2013

Majitel farmy chce nasadit podpěrnou tyč, aby lépe zajistil dva sloupy o délce 6 ma 4 m. Obrázek představuje skutečnou situaci, ve které jsou sloupky popsány segmenty AC a BD a tyčí je reprezentován segmentem EF, který je kolmý k zemi, což je indikováno přímkovým segmentem AB. Segmenty AD a BC představují ocelová lana, která budou instalována.

Jaká by měla být hodnota délky tyče EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Viz odpověď

Abychom problém vyřešili, nazveme výšku stonku jako z a měření AF a FB segmentů X a y, jak je uvedeno níže:

Trojúhelník ADB je podobný trojúhelníku AEF v tom, že oba mají úhel rovný 90 ° a společný úhel, takže jsou podobné v případě AA.

Můžeme tedy napsat následující poměr:

Násobením „křížkem“ získáme rovnost:

6x = h (x + y) (I)

Na druhou stranu budou trojúhelníky ACB a FEB podobné, a to ze stejných důvodů, které jsou uvedeny výše. Máme tedy podíl:

Řešení stejným způsobem:

4y = h (x + y) (II)

Všimněte si, že rovnice (I) a (II) mají za znaménkem rovnosti stejný výraz, takže můžeme říci, že:

6x = 4r

Dosazením hodnoty x do druhé rovnice:

Alternativa: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Na obrázku je trojúhelník ABC obdélníkový se stranami BC = 3 a AB = 4. Kromě toho bod D patří do klíční kosti. , bod E patřící do klíční kosti a bod F patří do přepony , takže DECF je rovnoběžník. -li , takže plocha paralelogramu DECF stojí za to

Viz odpověď

Plocha rovnoběžníku se zjistí vynásobením základní hodnoty výškou. Pojďme nazvat h výšku a x základní míru, jak je znázorněno níže:

Protože DECF je rovnoběžník, jeho strany jsou rovnoběžné dvě po druhé. Tímto způsobem jsou strany AC a DE paralelní. Takže úhly jsou stejné.

Poté můžeme identifikovat, že trojúhelníky ABC a DBE jsou podobné (případ AA). Také máme, že přepona trojúhelníku ABC se rovná 5 (trojúhelník 3,4 a 5).

Tímto způsobem napíšeme následující poměr:

Abychom našli míru x základny, vezmeme v úvahu následující poměr:

Při výpočtu plochy rovnoběžníku máme:

Alternativa: a)