Zvažte polynomiální rovnice níže, kde jsou všechny koeficienty TheNejsou celá čísla:
TheNeXNe +n-1Xn-1 +n-2Xn-2 +... +2X2 +1x + a0 = 0
Ó Věta o racionálních kořenech zaručuje, že pokud tato rovnice připouští racionální číslo P/co jako root (s P
, co 
a mdc (p, q) = 1), pak The0 je dělitelné P a TheNe je dělitelné co.
Komentáře:
1º) Věta o racionálních kořenech nezaručuje, že polynomiální rovnice má kořeny, ale pokud existují, věta nám umožňuje identifikovat všechny kořeny rovnice;
2º) -li TheNe= 1 a ostatní koeficienty jsou celá celá čísla, rovnice má pouze celočíselné kořeny.
3°) -li q = 1 a existují racionální kořeny, jsou to celé a dělitele The0.
Aplikace věty o racionálních kořenech:
Pojďme pomocí věty najít všechny kořeny polynomiální rovnice 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Nejprve si určíme možné racionální kořeny této rovnice, tj. Kořeny formy P/co. Podle věty, The0 je dělitelné P; tímto způsobem, jak The0 = 12, pak možné hodnoty P jsou {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogicky musíme The
Ne je dělitelné co a TheNe = 2, pak co může mít následující hodnoty: {± 1, ± 2}. Proto dělení hodnot P za co, dostaneme možné hodnoty P/co kořeny rovnice: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Abychom potvrdili, že hodnoty, které jsme našli, jsou skutečně kořenem polynomiální rovnice, dosadíme každou hodnotu namísto X rovnice. Přes algebraický počet, má-li polynom za následek nula, takže substituované číslo je vlastně kořen rovnice.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Pro x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Pro x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Pro x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Pro x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Pro x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Pro x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Pro x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Pro x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Pro x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Pro x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Pro x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Pro x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Pro x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Pro x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Pro x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Pro x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Kořeny polynomické rovnice 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 oni jsou {– 3, – 2, ½, 2}. Přes věta o polynomiálním rozkladu, mohli bychom tuto rovnici napsat jako (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Autor: Amanda Gonçalves
Vystudoval matematiku
Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Rational Roots Theorem“; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Zpřístupněno 28. června 2021.
