Logaritmické nerovnosti. Řešení logaritmických nerovností

Na logaritmické nerovnosti jsou všichni přítomní logaritmy. Neznámý je v těchto případech v logaritmus a / nebo v základna. Pamatujte si to logaritmus má následující formát:

log_The b = x ↔ a^X = b,

* a základ logaritmu;B to je logaritmus a X to je logaritmus.

K řešení logaritmických nerovností použijeme operativní vlastnosti logaritmů a tradiční koncepty řešení nerovností. Stejně jako my s logaritmickými rovnicemi, je důležité zkontrolovat podmínky existence logaritmů (jak základna, tak logaritmus musí být větší než nula).

Rozvíjením logaritmických nerovností můžeme dosáhnout dvou situací:

1) Nerovnost mezi logaritmy na stejném základě:

log_The b The C

Zde musíme analyzovat dva případy: pokud základna je větší než 1 (a> 1), můžeme ignorovat logaritmus a udržovat nerovnost mezi logaritmy, tedy:

Pokud a> 1, přihlaste se_The b The c ↔ b

Pokud na druhou stranu základ je číslo mezi 0 a 1 (0> a> 1), když řešíme logaritmickou nerovnost, musíme obrácená nerovnost a vytvořit nerovnost mezi logaritmy, to znamená:

Pokud 0> a> 1, pak se přihlaste_The b The c ↔ b> c

2.) Nerovnost mezi logaritmem a reálným číslem:

log_The b

Pokud při řešení logaritmické nerovnosti narazíme na nerovnost mezi logaritmem a reálné číslo, můžeme použít základní vlastnost logaritmu se zachováním symbolu nerovnost:

log_The b X

nebo

log_The b> x ↔ b> a^X

Podívejme se na několik příkladů řešení logaritmických nerovností:

Příklad 1: log₅ (2x - 3) 5 X

Musíme zkontrolovat podmínky existence logaritmů:

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

2x - 3> 0 2x> 3 x> ^3/2

x> 0

Máme nerovnost mezi logaritmy stejné báze, která je větší než 1. Nerovnost pak můžeme udržovat pouze mezi logaritmany:

log₅ (2x - 3) 5 X
2x - 3
2x - x <3
x <3

Tabulka rozlišení příkladu 1

V tomto případě je řešení

.

Příklad 2: log₂ (x + 3) ≥ 3

Nejprve zkontrolujeme podmínku existence logaritmu:

x + 3> 0
x> - 3

V tomto případě existuje nerovnost mezi logaritmem a reálným číslem. Protokol můžeme vyřešit konvenčním způsobem a zachovat nerovnost:

log₂ (x + 3) ≥ 3
x + 3≥ 2³ 
x + 3≥ 8
x≥ 8 - 3
x≥ 5 

Tabulka rozlišení příkladu 2

Řešení je .

Příklad 3: log_1/2 3x> log_1/2 (2x + 5)

Při kontrole podmínek existence logaritmů máme:

3x> 0 x> 0

2x + 5> 0 2x> - 5 ​x> ^– 5/2

V tomto příkladu existuje nerovnost mezi logaritmy stejné báze, která je menší než1. Abychom to vyřešili, musíme nerovnost převrátit a aplikovat ji mezi logaritmany:

log_1/2 3x> log_1/2 (2x + 5)
3x <2x + 5
3x - 2x <5
x <5

Tabulka rozlišení příkladu 3

V tomto případě je řešení ​.

Autor: Amanda Gonçalves
Vystudoval matematiku

Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Logaritmické nerovnosti"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacoes-logaritmicas.htm. Zpřístupněno 28. června 2021.

Nerovnost produktu

Nerovnost, co je nerovnost, znaky nerovnosti, studium znaku, studium znaku nerovnosti, produktová nerovnost, produkt nerovností, funkce, znaková hra.